高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题（每题小题5分）
1.设y=－,则∈[0,1]上的最大值是（ ）
A 0 B － C D
2.若质点P的运动方程为S(t)=2t2+t（S的单位为米，t的单位为秒），则当t=1时的瞬时速度为（ ）
A 2米/秒 B 3米/秒 C 4米/秒 D 5米/秒
3.曲线ｙ＝－－2在点（－1，）处切线的倾斜角为（ ）
Ａ 30o Ｂ 45o Ｃ 135o Ｄ 150o
4.函数y=－2+ 的单调递减区间是（ ）
A (－∞,－) B (－,) C(－∞,－)∪(,+∞) D (,+∞)
5.过曲线ｙ＝＋１上一点（-１，０），且与曲线在该点处的切线垂直的直线方程是（ ）
Ａ ｙ＝３ｘ＋３ Ｂ ｙ＝＋３ Ｃ ｙ＝-- Ｄ ｙ＝-３ｘ-３
6.曲线ｙ＝在点（１，）处的切线与直线ｘ＋ｙ-３＝０的夹角为
Ａ 30o Ｂ 45o Ｃ 60o Ｄ 90o
7.已知函数=+a+b的图象在点P (1,0)处的切线与直线3x+y=0平行.则a、b的值分别为（ ）.
A －3, 2 B －3, 0 C 3, 2 D 3, －4
8.已知=a+3+2,若=4,则a的值等于（ ）
A B C D
9.函数= －12+16在 [－3,3]上的最大值、最小值分别是（ ）
A 6，0 B 32, 0 C 2 5, 6 D 32, 16
10.已知a>0，函数ｙ＝-aｘ在[1，+∞上是单调增函数，则a的最大值为（ ）
A 0 B 1 C 2 D 3
11.已知=2-6+m（m为常数），在[-2，2]上有最大值3，则此函数在[-2，2]上的最小值为（ ）
A -37 B -29 C -5 D -11
12.已知=+, 且x1+x2<0, x2+x3<0, x3+x1<0则（ ）
A f(x1)+f(x2)+f(x3)>0 B f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 C f(x1)+f(x2)+f(x3)=0 D f(x1)+f(x2)+f(x3)符号不能确定.
二、填空题（每小题4分）
13.过抛物线y=上一点A（1，0）的切线的倾斜角为45°则=__________.
14.函数=－3的递减区间是__________
15.过点P(－1,2)且与曲线ｙ＝3－4+2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是__________.
16.函数=(1－)在[0,1]上的最大值为__________.
三、解答题
17.已知函数=a+b+c的图像经过点(0,1)，且在=1处的切线方程是y=－2.
求的解析式；12分
18.证明：过抛物线y=a(x－x1)(x－x2)(a≠0, x1< x2)上两点A(x1,0),B(x2,0)的切线与x轴所成的锐角相等。12分
19.已知=a+b+cx（a0）在x=±1时取得极值且f（1）= -1
试求常数a、b、c的值并求极值。12分
20.已知函数=.
（1）若在（－∞，+∞）上是增函数，求a的取值范围.
(2) 若在x=x1及x=x2 (x1, x2>0)处有极值，且1<≤5,求a的取值范围。12分
21.已知函数=ax3+cx+d(a≠0)在R上满足 =－,
当x=1时取得极值－2.
(1)求的单调区间和极大值;
(2)证明：对任意x1,x2∈(－1,1),不等式││<4恒成立. 14分
22.如图在边长为4的正方形铁皮的四角切去相等的正方形，在把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底盒子.
（1）问切去的小正方形边长为多少时，盒子容积最大？最大容积是多少？
（2）上述做法，材料有所浪费，如果可以对材料进行切割、焊接，请你重新设计一个方案，使材料浪费最少，且所得无盖的盒子的容积> 14分
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答案：1.A2.D3.C4.B5.C6.D7.A8.B9.B10.D11.A12B13. 1 14.[－1,1] 15.2x－y+4=0 16.
提示：1.A f(1)=f(0)=0最大
2. D∵=4t+1∴当t=1时的瞬时速度为5米/秒
3. 选Ｃ∵=－∴=－1即tanα=－1∴α=135o
4. 选B∵=－2+3<0,∴－<<
5. C∵∴该点处的切线斜率为3，∴所求直线方程为y=－(x+1)即Ｃ答案
6. 选Ｄ∵ =, │x=1=1,∴切线斜率为1,又直线斜率为－1∴两直线垂直∴夹角为90o
7. A∵=3+2ax，切线的斜率k=3+2a，3+2a= -3 ∴a=-3又∵f（1）=a+b+1=0 ∴b=2，故选A
8. 选B∵=3a+6∴=3a－6∴a=
9. 选B ∵=3－12, 由=0得=±2当=±2，=±3时求得最大值32，最小值0
10. D∵=3－a，∴若为增函数，则>0即a<3要使a<3, ∈[1,+∞，上恒成立，∴a≤3故选D
11. A令=0得=0或=2，而f(0)=m,f(2)=－8+m,f(－2)=－40+m显然f(0)>f(2)>f(－2)∴m=3
最小值为f(－2)=－37故选A
12. B∵=3+1,∴>0∴在上是增函数，且是奇函数，
∴f(x1)0, tanθ2=│a(x2－x1)│=│a│(x2－x1)>0………11分
∴tanθ1= tanθ2.…………..12分
19. 解：=3a+2bx+c，.…………3分
∵在x=±1时取得极值∴x=±1是=0即3a+2bx+c=0的两根………6分
∴ ∵f（1）= -1 ∴ a+b+c=-1（3）
由（1），（2），（3）得a=， b=0，c=………9分
∴= x，∴=（x –1）（x+1）
当x<-1或x>1时，>0，当-10,故结论成立………………………………2分
当a>0时,[ ]min==1－a≥0,∴a≤1即00则在(－∞,－1)上是增函数; …………5分
在x∈(－1,1)时, <0则在(－1,1)上是减函数…………6分
当x∈(1,+∞)时, >0则在(1,+∞)上是增函数…………7分
∴=2为极大值. …………9分
(2)由(1)知, =在[－1,1]上是减函数,且在[－1,1]上的最大值M==2,在
[－1,1]上的最小值m= f(2)=－2. …………12分
对任意的x1,x2∈(－1,1),恒有││0,
当<<2时，<0∴当=时盒子容积最大，最大容积是………9分
方案：如下图a，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图b，将切下的小正方形焊接成长方形再焊在原正方形一边；如图c再焊成盒子
图a 图b 图c
新焊成的盒子的容积为：3×2×1=6,显然>故此方案符合要求。………14分
高中新课标数学选修（2-2）综合测试题
一、选择题
1、函数在区间上的平均变化率为（ ）
（A） （B） （B） （D）
答案：（B）
2曲线在点处的切线与轴、直线所围成的三角形的面积为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）；
3、已知直线是的切线，则的值为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）
4、设是一等比数列的连续三项，则的值分别为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：（C）；由
5、方程有实根，且，则（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（A）；由，则
6、已知三角形的三边分别为，内切圆的半径为，则三角形的面积为
；四面体的四个面的面积分别为，内切球的半径为。类比三角形的面积可得四面体的体积为（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：（B）
7、数列的第项是（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（C）
8、在证明为增函数的过程中，有下列四个命题：①增函数的定义是大前提；②增函数的定义是小前提；③函数满足增函数的定义是小前提；④函数满足增函数的定义是大前提；其中正确的命题是（ ）
（A）①② （B）②④ （C）①③ （D）②③
答案：（C）
9、若，则复数表示的点在（ ）
（A）在第一象限 （B）在第二象限
（C）在第三象限 （D）在第四象限
答案：（D）；由，，知在第四象限；
10、用数学归纳法证明不等式“”时的过程中，由到时，不等式的左边（ ）
（A）增加了一项 （B）增加了两项
（C）增加了两项，又减少了；
（D）增加了一项，又减少了一项；
答案：（C）；
11、如图是函数的大致
图象，则等于（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：（C）；提示，由图象过知经比较可得，即，由得；
12、对于函数，给出下列四个命题：①是增函数，无极值；②是减函数，有极值；③在区间及上是增函数；④有极大值为，极小值；其中正确命题的个数为（ ）
（A） （B） （C） （D）
答案：（B）；其中命题③与命题④是正确的。
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二、填空题
13、函数在闭区间上的最大值与最小值分别为：
答案：；
14、若，，且，则的值为 ；
答案：；提示，由，得
又由，得，那么
15、用火柴棒按下图的方法搭三角形：
按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数与所搭三角形的个数之间的关系式可以是 .
答案：
16、物体A的运动速度与时间之间的关系为（的单位是，的单位是），物体B的运动速度与时间之间的关系为，两个物体在相距为的同一直线上同时相向运动。则它们相遇时，A物体的运动路程为：
答案：；提示，设运动时两物体相遇，那么
得，由于，得相遇时A物体运动；
三、解答题
17、已知复数满足，且为纯虚数，求证：为实数
证明：由，得，
即，那么
由于，为纯虚数，可设
所以，从而
故为实数
18、求由与直线所围成图形的面积
解：由或
或，本题的图形由两部分构成，首先计出上的面积，再计算出上的面积，然后两者相加即可；于是
19、用总长的钢条做一个长方体容器的框架.如果所做容器的低面的一边长比另以一边长多那么高是多少时容器的容积最大,并求出它的最大容积.
解：设该容器低面矩形边长为,则另一边长为，此容器的高为，
于是，此容器的容积为： ，其中
由，得，（舍去）
因为，在内只有一个极值点，且时，，函数递增；时，，函数递减；
所以，当时，函数有最大值
即当高为时, 长方体容器的容积最大，最大容积为.
20、已知，函数．
（Ⅰ）当为何值时，取得最小值？证明你的结论；
（Ⅱ）设在上是单调函数，求的取值范围
解析：（1）略
（2）由
令，即，得，
，其中
当变化时，、的变化情况如下表：
当时，在上单调递减；
由此可得：在上是单调函数的充要条件为，即，解得；
即所求的取值范围为；
21、若，观察下列不等式：
，，…，请你猜测将满足的不等式，并用数学归纳法加以证明。
解：将满足的不等式为，证明如下：
当时，结论成立；
假设时，结论成立，即
那么，当时，
显然，当时，结论成立。
由、知对于大于的整数，成立。
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