45分钟滚动基础训练卷(十五)
(考查范围：第65讲～第68讲 分值：100分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．[2012·辽宁卷] 复数＝( )
A.－i B.＋i
C．1－i D．1＋i
2．[2012·信阳模拟] 在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0，2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )
A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1
B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1
C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1
D．以上都不对
3．计算机执行下面的程序后，输出的结果是( )
A＝1
B＝3
A＝A＋B
B＝A－B
PRINT A，B
END
A．1，3 B．4，1
C．4，－2 D．6，0
4．[2013·张家界一中月考] 已知i为虚数单位，则复数z＝i(1＋i)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
5．[2012·石家庄模拟] 已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋n，利用如图G15－1所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框中应填的语句是( )
图G15－1
A．n>10? B．n≤10?
C．n<9? D．n≤9?
6．[2012·沈阳模拟] 观察下列各式：72＝49，73＝343，74＝2 401，…，则72 011的末两位数字为( )
A．01 B．43 C．07 D．49
7．方程x2＋6x＋13＝0的一个根是( )
A．－3＋2i B．3＋2i
C．－2＋3i D．2＋3i
8．[2012·太原检测] 执行如图G15－2所示的程序框图，则输出的S值是( )
图G15－2
A．－1 B. C. D．4
二、填空题(本大题共3小题，每小题6分，共18分)
9．[2012·湖南十二校联考] 如果执行下面的框图，输入N＝5，则输出的数等于________．
10．若直线ax＋2by－2＝0(a>0，b>0)始终平分圆x2＋y2－4x－2y－8＝0的周长，则＋的最小值为________．
11．[2012·江西八校联考] 已知如图G15－3所示的程序框图(未完成)，设当箭头a指向①时，输出的结果为S＝m，当箭头a指向②时，输出的结果为S＝n，则m＋n的值为________．
图G15－3
三、解答题(本大题共3小题，每小题14分，共42分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
12．已知复数z＝－x＋(x2－4x＋3)i且z>0，求实数x的值．
13．数列{an}(n∈N*)中，a1＝0，an＋1是函数fn(x)＝x3－(3an＋n2)x2＋3n2anx的极小值点，求通项an.
14．[2013·郑州模拟] 设f(n)＝1＋2＋3＋…＋n，g(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，h(n)＝13＋23＋33＋…＋n3，根据等差数列前n项和公式知f(n)＝，且＝＝1＝，
＝＝，＝＝＝，
＝＝＝，…
猜想＝，
即g(n)＝·f(n)＝.
(1)请根据以上方法推导h(n)的公式；
(2)利用数学归纳法证明(1)中的结论．
45分钟滚动基础训练卷(十五)
1．A [解析] 本小题主要考查复数的除法运算．解题的突破口为分子分母同乘以分母的共轭复数．
因为＝＝＝－i，所以答案为A.
2．B [解析] “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.
3．B [解析] 首先把A＋B＝4的值赋给A，此时A＝4，B＝3，再把A－B＝4－3＝1的值赋给B，故输出的是4，1.
4．B [解析] z＝i(1＋i)＝－1＋i，对应在坐标系内的坐标为(－1，1)，故位于第二象限．
5．D [解析] 因为求第10项，肯定n>9时输出．
6．B [解析] 75＝16 807，76＝117 649，又71＝07，观察可见7n(n∈N*)的末两位数字呈周期出现，且周期为4，
∵2 011＝502×4＋3，∴72 011与73末两位数字相同，故选B.
7．A [解析] 方法一：x＝＝－3±2i，故选A.
方法二：将A，B，C，D各项代入方程验证，发现只有A项中的－3＋2i，满足(－3＋2i)2＋6(－3＋2i)＋13＝9－12i－4－18＋12i＋13＝0.故选A.
8．A [解析] 本小题主要考查程序框图的应用．解题的突破口为分析i与6的关系．
当i＝1时，S＝＝－1；当i＝2时，S＝＝；当i＝3时，S＝＝；
当i＝4时，S＝＝4；当i＝5时，S＝＝－1；当i＝6时程序终止，故输出的结果为－1.
9. [解析] 数列求和的裂项相消法，求前5项的和，
S＝＋＋…＋＝＋＋…＋＝1－＝.
10．3＋2 [解析] 由题知直线经过圆心(2，1)，则有a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝3＋≥3＋2.
11．20 [解析] 据题意若当箭头a指向①时，运行各次的结果S＝1，i＝2；S＝2，i＝3；S＝3，i＝4；S＝4，i＝5；S＝5，i＝6>5，故由判断框可知输出S＝m＝5；若箭头a指向②时，输出的结果为S＝1＋2＋3＋4＋5＝15，故m＋n＝15＋5＝20.
12．解：∵z>0，∴z∈R，
∴x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3.
又z>0，即－x>0，
∴当x＝1时，上式成立；
当x＝3时，上式不成立．
∴x＝1.
13．解：易知f′n(x)＝x2－(3an＋n2)x＋3n2an＝(x－3an)(x－n2)，
令f′n(x)＝0，得x＝3an或x＝n2.
(1)若3an0，fn(x)单调递增；
当3ann2时，f′n(x)>0，fn(x)单调递增，
故fn(x)在x＝n2时，取得极小值．
(2)若3an>n2，仿(1)可得，fn(x)在x＝3an时取得极小值．
(3)若3an＝n2，f′n(x)≥0，fn(x)无极值．
因a1＝0，则3a1<12，由(1)知，a2＝12＝1.
因3a2＝3<22，由(1)知a3＝22＝4，
因3a3＝12>32，由(2)知a4＝3a3＝3×4，
因3a4＝36>42，由(2)知a5＝3a4＝32×4，
由此猜想：当n≥3时，an＝4×3n－3.
下面用数学归纳法证明：当n≥3时，3an>n2.
事实上，当n＝3时，由前面的讨论知结论成立．
假设当n＝k(k≥3)时，3ak>k2成立，则由(2)知ak＋1＝3ak>k2，
从而3ak＋1－(k＋1)2>3k2－(k＋1)2＝2k(k－2)＋2k－1>0，
所以3ak＋1>(k＋1)2.
故当n≥3时，an＝4×3n－3，
于是由(2)知，当n≥3时，an＋1＝3an，而a3＝4，
因此an＝4×3n－3，
综上所述，an＝
14．解：(1)由＝＝1＝，＝＝＝3＝，＝＝＝6＝，＝＝＝10＝，…
猜想＝，即h(n)＝·f(n)＝.
(2)证明：①当n＝1时，左边＝1，右边＝＝1＝左边，即当n＝1时，式子成立；
②假设当n＝k(k∈N*)时，13＋23＋33＋…＋k3＝成立，
则当n＝k＋1时，13＋23＋33＋…＋k3＋(k＋1)3＝＋(k＋1)3＝(k＋1)2
＝＝.
即当n＝k＋1时，原式也成立．
综上所述，13＋23＋33＋…＋n3＝对任意n∈N*都成立．
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