湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：函数概念与基本初等函数I
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．定义在（－∞，+∞）上的奇函数f(x)和偶函数g(x)在区间（－∞,0上的图像关于x轴对称，且f(x)为增函数，则下列各选项中能使不等式f(b)－f(－a)>g(a)－g(－b)成立的是( )
A．a>b>0 B．a0 D．ab<0
【答案】A
2．方程log3x＋x＝3的解所在区间是( )
A．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3，＋∞)
【答案】C
3．下列函数中与函数y=x相等的函数个数为( )
(1）y=()2； (2）y=； (3）y=； (4）y=
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
4．如果对任意实数t都有f (3+ t) = f (3-t)，那么( )
A．f (3) < f (1) < f (6) B．f (1) < f (3) < f (6)
C．f (3) < f (6) < f (1) D．f (6) < f (3) < f (1)
【答案】A
5．函数是定义域为R的偶函数，当时，则当时，的表达式为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
6．函数的零点所在的区间是( )
A． B． (0，1) C． (1，2) D． (2，3)
【答案】C
7．已知函数若则( )
A． B．
C． D．与的大小不能确定
【答案】B
8．函数的定义域为( )
A． B． C． D．
【答案】C
9．设为定义在R上的奇函数。当x≥0时，=+2x+b（b为常数），则=( )
A．3 B．1 C．-1 D．-3
【答案】D
10．若函数的图象的顶点在第四象限，则函数的图象是( )
【答案】A
11．已知点在幂函数f(x)的图象上，则f(x)是( )
A．是偶函数 B．是奇函数
C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】B
12．已知函数在区间上的函数值大于0恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．若对于定义在R上的函数，其图像是连续不断的,且存在常数，使得对任意实数X成立,则称是一个X-伴随函数.有下列关于X-伴随函数的结论：①是常函数中唯一一个-伴随函数；②是一个X-伴随函数；③-伴随函数至少有一个零点.其中不正确的结论的序号是____________ (写出所有不正确结论的序号).
【答案】①②
14．函数(，), 有下列命题：
①的图象关于y轴对称；
②的最小值是2 ；
③在上是减函数，在上是增函数；
④没有最大值．
其中正确命题的序号是 . (请填上所 有正确命题的序号）
【答案】①④
15．对于任意的值恒大于零，则x的取值范围是 .
【答案】
16．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】a≥3
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．对于函数，若存在，使得成立，称为不动点，已知函数
(1）当时，求函数不动点；
(2）若对任意的实数，函数恒有两个相异的不动点，求a的取值范围；
(3）在（2）的条件下，若图象上A，B两点的横坐标是函数不动点，且两点关于直线对称，求b的最小值.
【答案】（1）当时，，令，解之得
所以的不动点是-1，3
(2）恒有两个不动点，
所以，即恒有两个相异实根，
得恒成立。于是解得
所以a的取值范围为
(3）由题意，A、B两点应在直线上，
设A，因为AB关于直线对称，所以
设AB中点为M，因为是方程的两个根。
所以
于是点M在直线上，代入得
即
当且仅当即时取等号。故的最小值为
18．某公司计划投资、两种金融产品，根据市场调查与预测，A产品的利润与投资量成正比例，其关系如图1，B产品的利润与投资量的算术平方要成正比例，其关系如图2.（注：利润与投资量的单位：万元）
(1）分别将、两产品的利润表示为投资量的函数关系式；
(2）该公司已有10万元资金，并全部投入、两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？
【答案】(1）设投资万元，A产品的利润为万元，B产品的利润为万元，
依题意可设.
由图1，得即.
由图2，得即
故.
(2）设B产品投入万元，则A产品投入10-万元，设企业利润为万元，
由（1）得
，
当，即时，.
因此当A产品投入6万元，B产品投入4万元时，该企业获得最大利润为2.8万元。
19．某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100件时，每多订购一件，订购的全部服装的出场单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购量不会超过600件．
(1)设一次订购x件，服装的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；
(2)当销售商一次订购多少件服装时，该厂获得的利润最大？其最大利润是多少？
【答案】(1)当0＜x≤100时，p＝60；
当100＜x≤600时，
p＝60－(x－100)×0.02＝62－0.02x.
∴p＝
(2)设利润为y元，则
当0＜x≤100时，y＝60x－40x＝20x；
当100＜x≤600时，
y＝(62－0.02x)x－40x＝22x－0.02x2.
∴y＝
当0＜x≤100时，y＝20x是单调增函数，当x＝100时，y最大，此时y＝20×100＝2 000；
当100＜x≤600时，
y＝22x－0.02x2＝－0.02(x－550)2＋6 050，
∴当x＝550时，y最大，此时y＝6 050.
显然6 050＞2 000.
所以当一次订购550件时，利润最大，最大利润为6 050元．
20．已知函数，且方程
有实根.
(1）求证：且；
(2）若是方程的一个实根，判断的正负，并说明理由.
【答案】（1）或又，所以
。
(2）设是方程两个根，则
，又。
21．已知函数f ( x )=x 2+ax+b
(1）若对任意的实数x都有f (1+x)=f (1－x) 成立，求实数 a的值；
(2）若f (x)为偶函数，求实数a的值；
(3）若f (x)在[ 1，+∞)内递增，求实数a的范围。
【答案】（1）∵f (1+x)=f (1－x)
∴的图象关于直线对称
∴ 即
(2）∵f (x)为偶函数，
∴ 对于一切实数x恒成立
即
∴
∴
(3）∵f (x)在[ 1，+∞)内递增
∴
∴
即实数a的范围为
22．定义在R上的单调函数f(x)满足f(3)＝log23，且对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)．
(1)求证：f(x)为奇函数；
(2)若f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0对任意x∈R恒成立，求实数k的取值范围．
【答案】(1)由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，令x＝y＝0，得f(0)＝0.令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，又f(0)＝0，则有f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)对任意x∈R成立，所以f(x)是奇函数．
(2)f(3)＝log23>0，即f(3)>f(0)，又f(x)是R上的单调函数，所以f(x)在R上是增函数．又由(1)知f(x)是奇函数．f(k·3x)＋f(3x－9x－2)<0?f(k·3x)0对任意x∈R恒成立．令t＝3x>0，问题等价于t2－(1＋k)t＋2>0对任意t>0恒成立．令g(t)＝t2－(1＋k)t＋2，其对称轴为t＝，当t＝≤0，即k≤－1时，g(0)＝2>0，符合题意；当t＝>0，即k>－1时，则需满足g>0，解得－1
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