湖南大学附中2014届高三数学一轮复习单元训练：计数原理
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．的展开式中x2的系数为( )
A．4 B．6 C．10 D．20
【答案】B
2．六个人排成一排，甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有( )
A．480 B．720 C．240 D．360
【答案】A
3．现要从甲、乙、丙、丁、戊五人中选出三人担任班长、副班长、团支书三种不同的职务，且上届任职的甲、乙、丙都不再连任原职务的方法种数为( )
A．48 B．30 C．36 D．32
【答案】D
4．展开式中的常数项是( )
A． －36 B． 36 C． －84 D． 84
【答案】C
5．编号为1、2、3、4、5、6、7的七盏路灯，晚上用时只亮三盏灯，且任意两盏亮灯不相邻，则不同的开灯方案有( )
A．60 B．20种 C．10种 D．8种
【答案】C
6．盒中装有6个大小相同的小球，其中4个黄色的，2个红色的，从中任取3个，若至少有一个是红色的不同取法种数是m，则二项式的展开式中的系数为( )
A． 3600 B．3840 C． 5400 D．6000
【答案】B
7．在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手恰比赛一场，但有3名选手各比赛了2场之后就退出了，这样，全部比赛只进行了50场。那么，在上述3名选手之间比赛的场数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
8．位选手依次演讲，其中选手甲不再第一个也不再最后一个演讲，则不同的演讲次序共有( )
A．种 B．种 C．种 D．种
【答案】C
9．从1，2，3，4，5，6，7这七个数字中任取两个奇数和两个偶数，组成没有重复数字的四位数，其中奇数的个数为( )
A．432 B．288 C．216 D．108
【答案】C
10．在实验室进行的一项物理实验中，要先后实施个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步， 程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有( )
A．34种 B．48种 C．96种 D．144种
【答案】C
11．（）展开式中的系数为10，则实数a等于( )
A．-1 B． C． 1 D． 2
【答案】D
12．C125 + C126等于( )
A．C135 B． C136 C． C1311 D． A127
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有 种（用数字作答）。
【答案】540
14．展开式中常数项为
【答案】
15． 的展开式中项的系数是15，则展开式的所有项系数的和是 .
【答案】64
16．“2012”含有数字0，1，2，且有两个数字2，则含有数字0，1，2，且有两个相同数字的四位数的个数为____________.
【答案】24
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．已知展开式的各项依次记为．
设．
(1）若的系数依次成等差数列，求的值；
(2）求证：对任意，恒有.
【答案】（1）依题意，，
的系数依次为，，，
所以，解得；
(2）
设，
则
考虑到，将以上两式相加得：
所以
又当时，恒成立，从而是上的单调递增函数，
所以对任意，．
18．在的展开式中，前三项系数成等差数列，求
(1）展开式中所有项的系数之和；
(2）展开式中的有理项 ；
(3）展开式中系数最大的项
【答案】由题意知，
(2）的第项
展开式中系数最大的项为和
19．从5名男生和4名女生中选出4人去参加辩论比赛，问：（Ⅰ）如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？（Ⅱ）如果男生中的甲和女生中的乙必须在内，有多少种选法？（Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？
【答案】依题意得
(Ⅰ）4人中男生和女生各选2人有
(Ⅱ）男生中的甲和女生中的乙必须在内有
(Ⅲ）如果4人中必须既有男生又有女生有
或
20．给定平面上的点集P={P1，P2，…，P1994}, P中任三点均不共线,将P中的所有的点任意分成83组，使得每组至少有3个点，且每点恰好属于一组，然后将在同一组的任两点用一条线段相连,不在同一组的两点不连线段,这样得到一个图案G，不同的分组方式得到不同的图案，将图案G中所含的以P中的点为顶点的三角形个数记为m(G)．
(1)求m(G)的最小值m0．
(2)设G*是使m(G*)=m0的一个图案，若G*中的线段(指以P的点为端点的线段)用4种颜色染色,每条线段恰好染一种颜色．证明存在一个染色方案,使G*染色后不含以P的点为顶点的三边颜色相同的三角形．
【答案】设G中分成的83个子集的元素个数分别为ni(1≤i≤83)，ni=1994．且3≤n1≤n2≤…≤n83．
则m(G)= C．即求此式的最小值．
设nk+1>nk+1．即nk+1－1≥nk+1．则C+ C－( C+ C)= C－C<0．这就是说，当nk+1与nk的差大于1时，可用nk+1－1及nk+1代替nk+1及nk，而其余的数不变．此时，m(G)的值变小．
于是可知，只有当各ni的值相差不超过1时，m(G)才能取得最小值．
1994=83×24+2．故当81组中有24个点，2组中有25个点时，m(G)达到最小值．
m0=81C+2C=81×2024+2×2300=168544．
⑵ 取5个点为一小组，按图1染成a、b二色．这样的五个小组，如图2，每个小圆表示一个五点小组．同组间染色如图1，不同组的点间的连线按图2染成c、d两色．这25个点为一组，共得83组．染色法相同．其中81组去掉1个点及与此点相连的所有线．即得一种满足要求的染色．
21．从中任取2个数，从中任取2个数，⑴能组成多少个没有重复数字的四位数？⑵若将⑴中所有个位是的四位数从小到大排成一列，则第个数是多少？
【答案】⑴不用0时，有个；用0时，有个；共有个四位数.
⑵ ①“1＊＊5”，中间所缺的两数只能从中选排，有个；
②“2＊＊5”，中间所缺的两数是奇偶数各一个，有个；
③“3＊＊5”，仿“1＊＊5”，也有个；
④“4＊＊5”，仿“2＊＊5”，也有个；
⑤“6＊＊5” 也有个；即小于的数共有个.
故第个数是，第个数是，第个数是，第个数是.
22．在二项式 (a>0，b>0，m，n0)中有2m+n=0，如果它的展开式里最大系数项恰是常数项。
(1）求它是第几项；
(2）求的范围。
【答案】（1）设Tr+1=为常数项，则有m(12－r)+nr=0
即m(12－r)＋nr=0 所以=4，即它是第5项
(2）因为 第5项是系数最大的项
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