1.3 正弦定理、余弦定理的应用（必修5苏教版）
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（每小题5分，共60分）
1．某人朝正东方向走了x km后，向左转后，再向前走了3 km，结果他离出发点恰好km，那么x= .
2.在△ABC中,已知2sin Acos B = sin C,那么
△ABC的形状是 三角形.
3．一飞机沿水平方向飞行，在位置A处测得正前下方地面目标C的俯角为30°，向前飞行了10 000米，到达位置B时测得正前下方地面目标C的俯
角为75°，这时飞机与地面目标C的距离
为 米．
4．在平行四边形ABCD中，已知AB=1，AD=2，，则= ．
5．在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水
中漂行，此时，风向是北偏东，风速是20 km/h；水的流向是正东，流速是20 km/h，
若不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向为北偏东 ，大小
为___________km/h.
6.把一30厘米的木条锯成两段，分别作为钝角三角形ABC的两边AB和BC，且∠ABC=，
当AB= 时，才能使第三条边AC最短.
7. 在△ABC中，边a，b，c的对角分别为A，B，C，且，则角B = .
8． 如图，在四边形ABCD中，已知AD(CD, AD = 10, AB =14, (BDA=60(, (BCD=135( ，则BC= .
9.为了测河宽，在一岸边选定两点A和B，望对岸的标识物C，测得∠CAB =45，∠CBA=75， AB=120米，则河宽= 米.
10. 在△ABC中，若c = 4,b = 7,BC边上的中线AD的长为3.5，则a= .
11. 某人在草地上散步，看到他正西方向有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南偏西方向上，另一根标杆在其南偏西方向上，此人步行的速度是
米/分 ．
12.江岸边有一炮台高30米，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和 ，而且两条船与炮台底部连线成角，则两条船相距 米.
二、解答题（共40分）
13. （10分）在△中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值.
14. （10分）在△中，角所对的边分别为，已知，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
15. （10分）某海轮以30海里/时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东，向北航行40分钟后到达B点，测得油井P在南偏东，海轮改为北偏东的航向再行驶80分钟到达C点，求P、C间的距离．
16.（10分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（1）求角A；
（2）若m，n，试求
|mn|的最小值．
1.3 正弦定理、余弦定理的应用答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
二、解答题
13.
14.
15.
16.
1.3 正弦定理、余弦定理的应用参考答案
一、填空题
1．或2 解析：由余弦定理知3=x2+32-6xcos ,解得x =或2.
2．等腰 解析：由2sin Acos B = sin C,知2sin Acos B = sin(A+B),
? ∴ 2sin Acos B = sin Acos B+cos Asin B，即cos Asin B-sin Acos B = 0.??
∴ sin(B-A)=0，∴ B =A.
3． 解析：设飞机与地面目标C的距离为x米，由正弦定理得，得x=.
4. 解析：由，得cos A=, A= ，故B= .
由余弦定理知：AC2=12+22-4cos =7, 故=.
5.60， 20 解析一：如图，∠AOB=600,
由余弦定理知OC2=202+202-800cos =1 200,
故OC = 20.
解析二：实质上求,平方即可.
6. 15 解析：在△ABC中，设AB = x（0＜x＜30） ，由余弦定理，得
AC=x－2x（30-x）cos =900-30x+x=（x-15）+675，
所以 当AB等于15厘米时第三条边AC最短.
7. 解析：由正弦定理可设=k，则
代入已知式，可得，
由余弦定理，得，故.
8. 解析：在△ABD中，设BD =x，
则，
即 ，
整理得 ，解得 ，（舍去）.
由正弦定理得 ∴.
9. 60+20 解析：把AB看成河岸，要求的河宽就是C到AB的距离，也就是△ABC的边AB上的高.在△中，有正弦定理，得BC==40（米）.
则河宽为h=BCsin 75=40×=60+20.
10.9 解析：设CD = DB = x, 在△ACD中，由余弦定理， 得cos C =.
在△ABC中，由余弦定理，得cos C=.
∴ =,解得x=4.5,故a=2x=9.
11. 3＋ 解析：如图所示，A、B两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C点时，测得∠BCO =， ∠ACO =，∴ ∠BCA =∠BCO－∠ACO =－=．
由题意，知∠BAC =，∠ABC =．
在△ABC中，由正弦定理，得：=，
即AC = ==＋6．
在直角三角形AOC中，有：
OC = AC·cos= (＋6)×= 9＋．
设步行速度为x米/分，则x == 3＋．
12. 解析：设炮台顶部位置为A，炮底为O，两船位置分别为B、C.在Rt△AOB中，BO=30米，在Rt△AOC中，CO=10米，在△BOC中，由余弦定理，得
BC，所以 BC= 米.
二、解答题
13. 解法一：由余弦定理得，
因此，. 在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理
解得从而
解法二：由余弦定理得，
因此，，由，
得
所以 ①
由正弦定理得.
由①式知故∠B<∠A，因此∠B为锐角，于是，
从而
14.解：（1）由余弦定理，得即，
．
（2）方法1：由余弦定理，得，
∵ 是△的内角，∴ ．
方法2：∵，且是△的内角，∴．
根据正弦定理，，得．
15. 解：如图，在△ABP中，AB = 30×= 20，
∠APB =，∠BAP =，
由正弦定理，得：=，
即=，解得BP =．
在△BPC中，BC = 30×= 40，
由已知∠PBC =，∴ PC === (海里)．
所以P、C间的距离为海里．
16. 解：（1）由正弦定理得，，
即，∴，
∴．∵，∴．
（2）mn ，
|mn|．
∵，∴，∴．从而．
∴当＝1，即时，|mn|取得最小值．所以，|mn|．
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