第1章 解三角形
建议用时
实际用时
满分
实际得分
120分钟
160分
一、填空题（每小题5分，共60分）
1.有一山坡，坡角为30°，若某人在斜坡的平面上沿着一条与山坡底线成30°角的小路前进一段路后，升高了100米，则此人行走的路程为 .
2.线段AB外有一点C，∠ABC＝60°，AB＝200 km，汽车以80 km/h的速度由A向B行驶，同时摩托车以50 km/h的速度由B向C行驶，则行驶________h后，两车的距离最小．
3.在锐角△ABC中，则的值等于 ，的取值范围为 .
4. 已知a，b，c为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量m＝(，－1)，n＝(cos A，sin A)，若m⊥n，且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角B＝________.
5.在△ABC中， B＝60°，最大边与最小边的比为，则三角形的最大内角为 .
6.若△ABC的周长是20，面积是10，A＝60°，则BC边的长是 .
7.在△ABC中，面积S＝a2－(b－c)2，则cos A＝ .
8.在△ABC中， 2sin Acos B＝sin C，那么△ABC一定是 .
9.在△ABC中，cos2 ＝(a，b，c分别为角A，B，C的对边)，则△ABC的形状为 .
10.在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c.若a＝c＝＋，且∠A＝75°，则b＝ .
11.某人在C点测得塔顶A为南偏西80°，仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10米到D，测得塔顶A的仰角为30°，则塔高为 .
12.轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h，15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是
n mile.
二、解答题（共90分）
13.（16分）在△ABC中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．
14.（16分）在△ABC中，已知，，B=45°，求b及A.
15.（16分）在△ABC中，角所对的边分别为，且满足，．
（1）求△ABC的面积；
（2）若，求的值．
16.（16分）在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.
17.（18分）如图，A,B,C,D都在同一个与水平面垂直的平面内，B，D为两岛上的两座灯塔的塔顶.测量船于水面A处测得B点和D点的仰角分别为75°,30°，于水面C处测得B点和D点的仰角均为60°，AC = 0.1 km.试探究图中B，D间距离与另外那两点间距离相等，然后求B，D的距离（计算结果精确到0.01 km，1.414，2.449）
18.（18分）为了测量两山顶M，N间的距离，飞机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤.
第1章 解三角形答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4． 5． 6．
7． 8． 9． 10． 11． 12．
二、解答题
13.
14.
15.
16.
17.
18．
第1章 解三角形参考答案
1. 400米 解析：如图，AD为山坡底线，AB为行走路线，BC垂直水平面,则BC=100米，∠BDC=30°，∠BAD=30°，
∴ BD=200米，AB=2BD=400 米．
2. 解析：如图所示，设行驶t h后，汽车由A行驶到D，摩托车由B行驶到E，则AD =80t，BE =50t.因为AB =200，所以BD =200-80t，
问题就转化为求DE最小时t的值．
由余弦定理得DE2=BD2+BE2-2BD·BEcos60°
=(200-80t)2+2500t2-(200-80t)·50t
=12900t2-42000t+40000.当t =时，DE最小．
3. 2， 解析：设，由正弦定理得
由锐角△ABC得，
又，故，
∴
4. 解析：∵ m⊥n，∴ cos A－sin A＝0，∴ tan A＝，∴ A＝.
∵ acos B＋bcos A＝c sin C，∴ sin A cos B＋sin B cos A＝sin C sin C，
∴ sin(A＋B)＝sin2C，∴ sin C＝sin2C.∵ sin C≠0，∴ sin C＝1.
∴ C＝，∴ B＝.
5.75° 解析：不妨设a为最大边．由题意得，
＝ ＝，即＝，
∴ ＝，即(3－)sin A＝(3＋)cos A，
∴ tan A＝2＋，∴ A＝75°.
6.7 解析：依题意及面积公式S＝bc sin A，
得10＝bc sin 60，即bc＝40.
又周长为20，故a＋b＋c＝20，b＋c ＝20－a.
由余弦定理得：a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－2bc cos 60°
＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－3bc，故a2＝(20－a)2－120，解得a＝7.
7. 解析：S＝a2－(b－c)2＝a2－b2－c2＋2bc ＝2bc－2bc cos A＝bc sin A，∴ sin A＝4(1－cos A),16(1－cos A)2＋cos2A＝1，∴ cos A＝.
8.等腰三角形 解析一：∵ 在△ABC中，A＋B＋C＝π，
即C＝π－(A＋B)，∴ sin C＝sin(A＋B)．
由2sin Acos B＝sin C，得2sin Acos B＝sin Acos B＋cos Asin B，
即sin Acos B－cos Asin B＝0，即sin(A－B)＝0.
又∵ －π＜A－B＜π，∴ A－B＝0，即A＝B.∴ △是等腰三角形．
解析二：利用正弦定理和余弦定理
2sin Acos B＝sin C可化为2a·＝c，即a2＋c2－b2＝c2，即a2－b2＝0，
a2＝b2，故a＝b.∴ △ABC是等腰三角形．
9.直角三角形 解析：∵ cos2＝，∴ ＝，∴ cos B＝，
∴ ＝，∴ a2＋c2－b2＝2a2，即a2＋b2＝c2，∴ △ABC为直角三
角形．
10. 2 解析：如图所示，在△中，由正弦定理得
=4，∴ b=2.
11.10米
12. 70 解析：如图，由题意可得OA＝50，OB＝30.而AB2＝OA2＋OB2－2OA·OB cos 120°
＝502＋302－2×50×30×(－)
＝2 500＋900＋1 500＝4 900，
∴ AB＝70.
13.分析：本题是条件式求值问题，关键是运用正、余弦定理．
解：由余弦定理，得，因此 .
在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.
由已知条件，应用正弦定理，得
解得
14.解：∵
=cos 45°
==，
∴
求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理.
方法一：∵ cos ∴
方法二：∵ sin sin A=.
又∵ ＞＜∴ ＜，即＜＜
∴
15.解：（1）∵ ，.
又由，得，.
（2）由（1）知，又，或，由余弦定理得
，.
16.分析：因给出的是a、b、c之间的等量关系，要求∠A，需找∠A与三边
的关系，故可用余弦定理.由b2=ac可变形为=a，再用正弦定理可求
的值.
解法一：∵ b2=ac,又a2－c2=ac－bc，∴ b2+c2－a2=bc.
在△ABC中，由余弦定理得cos A===，∴ ∠A=60°.
在△ABC中，由正弦定理得sin B=，∵ b2=ac，∠A=60°，
∴ =sin 60°=.
解法二：在△ABC中，由面积公式得bc sin A=ac sin B.
∵ b2=ac，∠A=60°（解法一），∴ bc sin A=b2sin B.
∴ =sin A=.
点评：解三角形时，找三边一角之间的关系常用余弦定理，找两边两角之间的关系常用正弦定理.
17.解:在△ADC中，∠DAC = 30°, ∠ADC = 60°－∠DAC=30°,
所以CD = AC = 0.1 km .又∠BCD = 180°－60°－60° = 60°，
故CB是△CAD底边AD的中垂线，所以BD = BA. ???????
在△ABC中，即AB =
因此，BD =≈0.33(km).故B，D的距离约为0.33 km.
点评：将解三角形等内容提到高中来学习，近年来,又加强数形结合思想的考查，降低对三角变换的要求，对三角函数的综合考查将向三角形问题伸展，但也不会太难，只要掌握基本知识、概念，深刻理解其中基本的数量关系即可.
18.解：方案一：①需要测量的数据有：A 点到M，N点的俯角，；B点到M，
N点的俯角；A，B间的距离 d （如图所示） .
②第一步：计算AM ，由正弦定理得 ；
第二步：计算AN ，由正弦定理 ；
第三步：计算MN，由余弦定理得 .
方案二：①需要测量的数据有：
A点到M，N点的俯角，；B点到M，N点的俯角，；A，B的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算BM ，由正弦定理得；
第二步：计算BN ， 由正弦定理得；
第三步：计算MN ， 由余弦定理得.
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