1.4 计数应用题同步练测
建议用时
实际用时
满分
实际得分
45分钟
100分
一、填空题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1.用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为1,2，…，9的9个小正方形(如图)，使得任意相邻(有公共边的)小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“1、5、9”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有________种．
2．6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为________.
3.某城市的电话号码，由六位升为七位（首位数字均不为零），则该城市可增加的电话部数是________．
4．个人排成一排,其中甲、乙两人至少有一人在两端的排法有________种．
5.五个工程队承建某项工程的五个不同的子项目，每个工程队承建1项，其中甲工程队不能承建1号子项目，则不同的承建方案共有________种．
6.从6人中选出4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有________种．
7.有件不同的产品排成一排，若其中两件不同的产品排在一起的排法有48种，则
________．
8．将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 ________种．
二、解答题（本大题共3小题，每小题20分，共60分）
9．判断下列问题是排列问题还是组合问题？并计算出结果.
（1）高三年级学生会有人：①每两人互通一封信，共通了多少封信？②每两人互握了一次手，共握了多少次手？
（2）高二年级数学课外小组有人：①从中选一名正组长和一名副组长，共有多少种不同的选法？②从中选名参加省数学竞赛，有多少种不同的选法？
（3）有八个质数：①从中任取两个数求它们的商可以有多少种不同的商？②从中任取两个求它们的积，可以得到多少个不同的积？
10.五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，报名方法的种数为多少？又他们争夺这四项比赛的冠军，获得冠军的可能性有多少种？
11.随着人们生活水平的提高，某城市家庭汽车拥有量迅速增长，交通管理部门出台了一种汽车牌照组成办法，每一个汽车牌照都必须有3个不重复的英文字母和 3 个不重复的阿拉伯数字，并且 3 个字母必须合成一组出现，3个数字也必须合成一组出现．那么这种办法共能给多少辆汽车上牌照？
1.4 计数应用题同步练测答题纸
得分：
一、填空题
1． 2． 3． 4．
5． 6． 7． 8．
二、解答题
9.
10.
11.
1.4 计数应用题同步练测答案
一、填空题
1.108 解析：对1,5,9三个位置涂色有三种方法，对2和6两个小正方形涂色，若颜色相同，则有两种方法，此时3也有两种方法；
若2和6颜色不相同，则有两种方法，此时3只有一种涂色方法，所以涂2,3,6三个小正方形共有6种方法，
同理涂4,7,8三个小正方形也有6种方法，故总的涂色方法有3×6×6＝108(种)．
2．50 解析:先分组再排列，一组2人一组4人有C＝15种不同的分法；两组各3人共有＝10种不同的分法，所以乘车方法数为25×2＝50.
3.81×105 解析：电话号码是六位数字时，该城市可安装电话9×105部，同理升为七位时可安装电话9×106部.∴ 可增加的电话部数是9×106－9×105=81×105.
4． 解析：不考虑限制条件有，若甲、乙两人都站中间有种排法，所以符合题意的排法有种.
5. 解析：本题在解答时将五个不同的子项目理解为5个位置，五个工程队相当于5个不同的元素，这时问题可归结为能排不能排的排列问题(即特殊元素在特殊位置上有特别要求的排列问题)，先排甲工程队，有种排法，其他4个元素在4个位置上的排法有种，故不同的承建方案共有种．
6.240 解析：本题在解答时只需考虑巴黎这个特殊位置的要求，有4种排法，
其他3个城市的排法看作标有这3个城市的3个签在5个位置（5个人）中的排列，有种，
故不同的选择方案共有4×=240（种）.
7.5 解析：将两件产品看作一个大元素，与其他产品排列有种排法.对于上述的每种排法， 两件产品之间又有种排法，由分步计数原理得满足条件的不同排法有=48（种），解得．
8．18 解析:标号1,2的卡片放入同一封信有种方法；其他四封信放入两个信封，每个信封两个有 种方法，共有种.
二、解答题
9．解：（1）①是排列问题，共通了封信；②是组合问题，共握手次.
（2）①是排列问题，共有90种选法；②是组合问题，共有种选法.
（3）①是排列问题，共有个商；②是组合问题，共有个积.
10.解：（1）5名学生中任一名均可报其中的任一项，因此每个学生都有4种报名方法，5名学生都报了项目才能算完成这一事件故报名方法种数为4×4×4×4×4=45种.
（2）每个项目只有一个冠军，每一名学生都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种故有n=5×５×５×５=54种.
11.分析：按照新规定，牌照可以分为 2类，即字母组合在左和字母组合在右．确定一个牌照的字母和数字可以分6个步骤．
解：将汽车牌照分为 2 类，一类的字母组合在左，另一类的字母组合在右．字母组合在左时，分6个步骤确定一个牌照的字母和数字：
第1步，从26个字母中选1个，放在首位，有26种选法；
第2步，从剩下的25个字母中选 1个，放在第2位，有25种选法；
第3步，从剩下的24个字母中选 1个，放在第3位，有24种选法；
第4步，从10个数字中选1个，放在第4 位，有10种选法；
第5步，从剩下的 9个数字中选1个，放在第5位，有9种选法；
第6步，从剩下的 8个数字中选1个，放在第6位，有8种选法．
根据分步计数原理，字母组合在左的牌照共有
26×25×24×10×9×8=11 232 000（个）.
同理，字母组合在右的牌照也有11 232 000个．
所以，共能给11 232 000 + 11 232 000 = 22 464 000（辆）汽车上牌照．
【点此下载】