阶段滚动检测（二）
（第一～四章）
（120分钟 150分）
第Ⅰ卷(选择题 共50分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(滚动单独考查)(2012·延安模拟)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{2,3,4}，
则( )
(A)M?N (B)N?M
(C)M∩N＝{2,3} (D)M∪N＝{1,4}
2.(2011·四川高考)复数－i＋＝( )
(A)－2i (B)i (C)0 (D)2i
3.(2012·宝鸡模拟)下列几个式子化简后的结果是纯虚数的是( )
(A)
(B)(1＋i)3
(C)i6
(D)
4.若cosα＝－，α是第三象限的角，则＝( )
(A)－ (B) (C)2 (D)－2
5.(2012·青岛模拟)已知非零向量a、b满足|a＋b|＝|a－b|且3a2＝b2，则a与b－a的夹角为( )
(A) (B) (C) (D)
6.给定两个向量a＝(3,4)，b＝(2,1)，若(a＋x b)⊥(a－b)，则x的值等于( )
(A)－3 (B) (C)3 (D)－
7.(2012·鹰潭模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋)－1(ω＞0)的最小正周期为，则f(x)的图像的一条对称轴的方程是( )
(A)x＝
(B)x＝
(C)x＝
(D)x＝
8.(滚动单独考查)y＝的图像大致为( )
9.若点H是△ABC的垂心，且，则点O是△ABC的( )
(A)垂心 (B)内心 (C)外心 (D)重心
10.如图所示，在平面四边形ABCD中，若AC＝3，BD＝2，则＝( )
(A)7
(B)6
(C)5
(D)4
第Ⅱ卷(非选择题 共100分)
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把正确答案填在题中横线上)
11.(2012·九江模拟)已知复数z1＝m＋2i，z2＝3－4i，若为实数，则实数m的值为 .
12.(2012·衢州模拟)在△ABC中，D在线段BC上，，，则＝ .
13.如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是 米.
14.已知α∈(0，π)，sinα＋cosα＝－，则sinα－cosα＝ .
15.给出下列4个命题：
①非零向量a，b满足|a|＝|b|＝|a－b|，则a与a＋b的夹角为30°；
②“a·b＞0”是“a，b的夹角为锐角”的充要条件；
③将函数y＝|x＋1|的图像按向量a＝(－1,0)平移， 得到的图像对应的函数表达式为y＝|x＋2|；
④在△ABC中，若，则△ABC为等腰三角形.
其中正确的命题是 .(注：把你认为正确的命题的序号都填上)
三、解答题(本大题共6小题，共75分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16.(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋sinxcosx (x∈R).
(1)求f()的值；
(2)求f(x)的单调递增区间.
17.(12分)已知向量a＝(x2＋1，p＋2)，b＝(3，x)，f(x)＝a·b，p是实数.
(1)若存在唯一的实数x，使a＋b与c＝(1,2)平行，试求p的值；
(2)若函数f(x)＞0在区间[2,3]上有解，试求p的取值范围.
18.(12分)(2012·郑州模拟)在锐角△ABC中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足2sinB(2cos2－1)＝－cos2B.
(1)求B的大小；
(2)如果b＝2，求△ABC的面积S△ABC的最大值.
19.(12分)(2012·咸阳模拟)已知θ为向量a与b的夹角，|a|＝2，|b|＝1，关于x的一元二次方程x2－|a|x＋a·b＝0有实根.
(1)求θ的取值范围.
(2)在(1)的条件下，求函数f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ－的最值.
20.(13分)如图所示，设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC∥x轴，证明：直线AC经过原点O.(用向量方法证明)
21.(14分)(滚动单独考查)已知函数f(x)＝－x3＋bx2－3a2x(a≠0)在x＝a处取得极值.
(1)求；
(2)设函数g(x)＝2x3－3af′(x)－6a3，如果g(x)在开区间(0,1)上存在极小值，求实数a的取值范围；
(3)f(x)是否为R上的单调函数，如果是，求出此时的a的范围；如果不是，请说明理由.
答案解析
1.【解析】选C.由已知得M∩N＝{1,2,3}∩{2,3,4}＝{2,3}，故选C.
2.【解析】选A.－i＋＝－i＋＝－i－i＝－2i.
故选A.
3.【解析】选D.∵＝－1＝－i－1，
(1＋i)3＝(1＋i)2(1＋i)＝2i(1＋i)＝2i－2，
i6＝i4·i2＝1×(－1)＝－1，
＝＝＝i.
故选D.
4.【解析】选A.∵cosα＝－且α是第三象限的角，
∴sinα＝－，
∴＝＝
＝＝
＝＝＝－.故选A.
5.【解析】选A.∵|a＋b|＝|a－b|，
∴a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，∴a·b＝0，
∴a·(b－a)＝a·b－a2＝－a2＝－|a|2，
|b－a|＝＝
＝＝2|a|，
设a与b－a的夹角为θ，则
cosθ＝＝＝－，
又θ∈[0，π]，∴θ＝.
6.【解析】选A.依题意(a＋xb)·(a－b)＝0，
即a2＋(x－1)a·b－xb2＝0，
又a＝(3,4)，b＝(2,1)，
则25＋10(x－1)－5x＝0，
解得x＝－3.
7.【解析】选A.∵T＝＝，∴ω＝3，
f(x)的对称轴方程为：3x＋＝＋kπ(k∈Z)，将A、B、C、D代入得：x＝合适.∴选A.
8.【解析】选A.函数有意义，需使ex－e－x≠0，其定义域为{x|x≠0}.
又因为y＝＝＝1＋，所以当x＞0时函数为减函数，故选A.
9.【解析】选C.
取BC的中点D，则
又∵AH⊥BC，∴OD⊥BC，
∴点O在BC的中垂线上.
同理点O在CA、AB的中垂线上，所以点O是△ABC的外心.
10.【解题指南】用已知模的向量表示目标向量
【解析】选C.由于
所以
＝＝9－4＝5.
11.【解析】∵z1＝m＋2i，z2＝3－4i，
∴＝＝＝.
又∵为实数，∴6＋4m＝0，即m＝－.
答案：－
12.【解析】由题意，
又
＝
∴，
∴m＝，n＝，
∴＝.
答案：
13.【解析】在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，
∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，
tan60°＝，AB＝BCtan60°＝10.
答案：10
14.【解析】∵(sinα＋cosα)2＝1＋2sinαcosα＝，
∴2sinαcosα＝－，
又α∈(0，π)，∴sinα＞0，
∴cosα＜0，sinα－cosα＞0，
又(sinα－cosα)2＝(sinα＋cosα)2－4sinαcosα
＝－2×(－)＝.
∴sinα－cosα＝.
答案：
15.【解析】①考虑向量和、差的平行四边形法则，不难判断结论正确；②当a，b的夹角为0°时，a·b＞0也成立，结论错误；③由两个函数图像容易判断结论正确；④可得，即AB＝AC，正确.所以①③④正确.
答案：①③④
16.【解析】f(x)＝＋sin2x＝sin2x＋cos2x＋＝(sin2x＋
cos2x)＋＝sin(2x＋)＋，
(1)f()＝sinπ＋＝.
(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，k∈Z，
∴2kπ－≤2x≤2kπ＋，k∈Z，
即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)时，f(x)单调递增.
∴f(x)的单调递增区间为[kπ－，kπ＋](k∈Z).
【方法技巧】解三角函数问题的变形技巧
重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的拆分要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.
17.【解析】(1)∵a＝(x2＋1，p＋2)，b＝(3，x)，
∴a＋b＝(x2＋4，x＋p＋2)，
又∵a＋b与c＝(1,2)平行，
∴2(x2＋4)＝x＋p＋2，
即2x2－x－p＋6＝0.
由题意知方程2x2－x－p＋6＝0有两个相等的实根，
∴Δ＝1－8(6－p)＝0，∴p＝.
(2)∵f(x)＝a·b＝3x2＋(p＋2)x＋3＞0，x∈[2,3]，
∴(p＋2)x＞－3(x2＋1)，p＞－2－3(x＋).
设t＝x＋，∵t＝x＋在[2,3]上为增函数，
∴≤t≤，∴≤3(x＋)≤10，
∴－12≤－2－3(x＋)≤－，
∴要使函数f(x)＞0在区间[2,3]上有解，
只需p＞－12即可.
18.【解析】(1)2sinB(2cos2－1)＝－cos2B
2sinBcosB＝－cos2Btan2B＝－，
∵0＜B＜，∴0＜2B＜π，
∴2B＝，∴B＝.
(2)由(1)知B＝，
∵b＝2，由余弦定理，得：4＝a2＋c2－ac≥2ac－ac＝ac(当且仅当a＝c＝2时等号成立)，
∵△ABC的面积S△ABC＝acsinB＝ac≤，
∴△ABC面积的最大值为.
19.【解析】(1)因为θ为向量a与b的夹角，所以θ∈[0，π]，由|a|＝2，|b|＝1，可得|a|2＝4，a·b＝|a||b|cosθ.
关于x的一元二次方程x2－|a|x＋a·b＝0有实根，则有
Δ＝|a|2－4a·b＝4(1－2cosθ)≥0，
得cosθ≤，所以θ∈[，π].
(2)f(θ)＝sinθcosθ＋cos2θ－
＝sin2θ＋()－
＝sin2θ＋cos2θ＝sin(2θ＋).
因为θ∈[，π]，所以2θ＋∈[π，]，所以sin(2θ＋)∈[－1，]，
所以，函数的最大值为，最小值为－1.
20.【解题指南】先由建立点A，B坐标之间的关系，再证即可.
【证明】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，又F(，0)，
则C(－，y2)，
则＝(x1－，y1)，＝(x2－，y2)，
∵与共线，
∴(x1－)y2－(x2－)y1＝0，
代入x1＝，x2＝整理得，
y1·y2＝－p2.
∵＝(x1，y1)，＝(－，y2)，
x1y2＋y1＝·()＋y1＝0，
∴与共线，即A、O、C三点共线，也就是说直线AC经过原点O.
【方法技巧】利用向量法解决解析几何问题
(1)利用向量法来解决解析几何问题，首先要将线段看成向量，求得向量坐标从而进行运算.
(2)平面向量在解析几何中的应用，是以解析几何中的坐标为背景的一种向量描述.它主要强调向量的坐标运算，将向量问题转化为坐标问题，进而利用直线和圆锥曲线的位置关系的相关知识来解答.
21.【解析】(1)f′(x)＝－x2＋2bx－3a2(a≠0)，
由题意知f′(a)＝－a2＋2ba－3a2＝0b＝2a，
∴＝2.
(2)由已知可得g(x)＝2x3＋3ax2－12a2x＋3a3，
则g′(x)＝6x2＋6ax－12a2＝6(x－a)(x＋2a)；
令g′(x)＝0，得x＝a或x＝－2a.
①若a＞0，则当x＜－2a或x＞a时，g′(x)＞0，
当－2a＜x＜a时，g′(x)＜0，
所以当x＝a时，g(x)有极小值.
∴0＜a＜1.
②若a＜0，则当x＜a或x＞－2a时，g′(x)＞0；
当a＜x＜－2a时，g′(x)＜0，
所以当x＝－2a时，g(x)有极小值.
∴0＜－2a＜1，
∴－＜a＜0.
所以当－＜a＜0或0＜a＜1时，
g(x)在开区间(0,1)上存在极小值.
(3)由(1)得b＝2a，
∴f′(x)＝－x2＋4ax－3a2 (a≠0)为开口向下的二次函数，
若f(x)为单调函数，
则f′(x)≤0对x∈R恒成立，
∴Δ＝16a2－12a2＝4a2≤0，
∵a≠0，∴a不存在，
所以f(x)在R上不是单调函数.
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