陕西师范大学附中2014版《创新设计》高考数学一轮复习冲刺训练提升：空间几何体
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知直线⊥平面,直线平面,下面三个命题( )
①∥⊥；②⊥∥；
③∥⊥. 则真命题的个数为
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【答案】C
2．底面是正三角形，且每个侧面是等腰三角形的三棱锥是( )
A．一定是正三棱锥 B．一定是正四面体 C．不是斜三棱锥 D．可能是斜三棱锥
【答案】D
3．给出下列命题：
①有两个面平行，其余各面都是平行四边形所围成的几何体一定是棱柱；
②有一个面是多边形，其余各面都是三角形所围成的几何体是棱锥；
③用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的几何体叫棱台.
以上命题中真命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
4．若一个螺栓的底面是正六边形，它的主视图和俯视图如图所示，则它的体积是( )
A． 27+12π B． 9+12 C． 27+3π D． 54+3π
【答案】C
5．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
A． 4 B． 8 C． 16 D． 20
【答案】C
6．一凸多面体的面数为8，各面多边形的内角总和为16π，则它的棱数为( )
A．24 B．22 C．18 D．16
【答案】D
7．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )
A．6 B． 2 C． D．
【答案】D
8．如图是一个几何体的三视图，其正视图和侧视图是两个全等的等腰梯形，上底边长为2，下底边长为6，腰长为5，则该几何体的侧面积为( )
A．10 B．20 C．30 D．40
【答案】B
9．下列说法正确的是( )
A．任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
B． 任何物体的三视图都与物体的摆放位置有关
C．有的物体的三视图与物体的摆放位置无关
D．正方体的三视图一定是三个全等的正方形.
【答案】C
10．已知向量a＝（1，1，0），b＝（－1，0，2），且a＋b与2 a－b互相垂直，则的值是( )
A． 1 B． C． D．
【答案】C
11．m和n是分别在两个互相垂直的面α、β内的两条直线，α与β交于l，m和n与l既不垂直，也不平行，那么m和n的位置关系是 ( ）
A．可能垂直，但不可能平行 B．可能平行，但不可能垂直
C．可能垂直，也可能平行 D．既不可能垂直，也不可能平行
【答案】D
12．点是等腰三角形所在平面外一点，中，底边的距离为( )
A． B． C． D．
【答案】A
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．一个球的半径为，放在墙角与两个墙角及地面都相切，那么球心与墙角顶点的距离是 ．
【答案】
14．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为2，则球的表面积为
【答案】12
15．已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，点E是上底面A1B1C1D1（包括边界）内的任一点，若满足的关系式为： 。
【答案】
16．已知向量，若，则______
【答案】
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17． 如图ABCD—A1B1C1D1是正方体, M、N分别是线段AD1和BD上的中点
(Ⅰ）证明: 直线MN∥平面B1D1C；
(Ⅱ）设正方体ABCD－A1B1C1D1棱长为，若以为坐标原点，分别以所在的直线为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，试写出B1、M两点的坐标，并求线段B1M的长.
【答案】（Ⅰ）证明:连结CD1、AC、则N是AC的中点
在△ACD1，又M是A D1的中点
∴MN∥CD1 ，又CD1 平面ACD1.
.
(Ⅱ）B1（a，a，a），M（，0，）
18．根据下列对于几何结构特征的描述，说出几何体的名称：
(１）由个面围成，其中两个面是互相平行且全等的五边形，其他面都是全等的矩形；
(２）一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转形成的封闭曲面所围成的图形．
【答案】（１）五棱柱；??? (２）圆锥．
19．如图，已知是平面的一条斜线，为斜足，为垂足，为内的一条直线，，求斜线和平面所成角
【答案】∵，由斜线和平面所成角的定义可知，为和所成角，
又∵，
∴，
∴，即斜线和平面所成角为．
20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中点.
(Ⅰ）证明：CD⊥平面PAE；
(Ⅱ）若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，求四棱锥P-ABCD的体积.
【答案】如图（2），以A为坐标原点，所在直线分别为建立空间直角坐标系.设则相关的各点坐标为：
(Ⅰ）易知因为所以而是平面内的两条相交直线，所以
(Ⅱ)由题设和（Ⅰ）知，分别是，的法向量，而PB与
所成的角和PB与所成的角相等，所以
由（Ⅰ）知，由故
解得.又梯形ABCD的面积为，所以四棱锥的体积为
.
21．如图，已知平行四边形中，，，，，垂足为，沿直线将翻折成，使得平面平面．连接，是上的点．
(I）当时，求证平面；
(Ⅱ）当时，求二面角的余弦值．
【答案】（1）∵，平面平面，∴．
如图建立空间直角坐标系．
则，，，
，，．
，
，．
∵，，
∴，．
又，∴平面．
设面的法向量为，则．
取，，则，
又平面的法向量为，∴．
∴二面角的余弦值．
22．如图，已知平面，，△是正三角形，，且是的中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面所成锐二面角的大小。
【答案】（1）取CE中点P，连结FP、BP，
∵F为CD的中点，∴FP//DE，且FP=
又AB//DE，且AB=∴AB//FP，且AB=FP，
∴ABPF为平行四边形，∴AF//BP。
又∵AF平面BCE，BP平面BCE，
∴AF//平面BCE。
(2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD。
∵AB⊥平面ACD，DE//AB，
∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，
∴DE⊥AF。又AF⊥CD，CD∩DE=D，
∴AF⊥平面CDE。
又BP//AF，∴BP⊥平面CDE。又∵BP平面BCE，
∴平面BCE⊥平面CDE。
(3）法一、由（2），以F为坐标原点，
FA，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图），
建立空间直角坐标系F—xyz.设AC=2，
则C（0，—1，0），-
显然，为平面ACD的法向量。
设面BCE与面ACD所成锐二面角为
则.
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.
法二、延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO．
则．
由ＡＢ是的中位线，则．
在， ．
，又．
．
即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.
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