第2讲 一元二次不等式及其解法
分层A级 基础达标演练
(时间:30分钟 满分:55分)
一、选择题(每小题5分,共20分)
1.(2012·南通二模)已知f(x)=则不等式f(x)2,因此x<0.
综上,x<4.故f(x)0,不等式-c0,∴-0的解集是 ( ).
A.(0,1)∪(,+∞) B.(-,1)∪(,+∞)
C.(,+∞) D.(-,)
解析 原不等式等价于或
∴x>或00的解集为,则不等式-cx2+2x-a>0的解集为________.
解析 由ax2+2x+c>0的解集为知a<0,且-,为方程ax2+2x+c=0的两个根,由根与系数的关系得-+=-,-×=,解得a=-12,c=2,∴-cx2+2x-a>0,即2x2-2x-12<0,其解集为(-2,3).
答案 (-2,3)
6.(2012·浙江)设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________.
解析 显然a=1不能使原不等式对x>0恒成立,故a≠1且当x1=,a≠1时原不等式成立.对于x2-ax-1=0,设其两根为x2,x3,且x20.当x>0时,原不等式恒成立,故x1=满足方程x2-ax-1=0,代入解得a=或a=0(舍去).
答案
三、解答题(共25分)
7.(12分)已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.
(1)求a,b;
(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.
解 (1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,且b>1.
由根与系数的关系,得解得
(2)由(1)知不等式ax2-(ac+b)x+bc<0为x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.
①当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|22时,不等式的解集为{x|21的解集为 ( ).
A.(-∞,-1)∪(0,+∞) B.(-∞,0)∪(1,+∞)
C.(-1,0) D.(0,1)
解析 ∵f(x)=ax2-(a+2)x+1,Δ=(a+2)2-4a=a2+4>0,
∴函数f(x)=ax2-(a+2)x+1必有两个不同的零点,
又f(x)在(-2,-1)上有一个零点,则f(-2)f(-1)<0,
∴(6a+5)(2a+3)<0,∴-1即为-x2-x>0,解得-10对x∈R恒成立,则关于t的不等式a2t+10对x∈R恒成立,则Δ=4a2-4a<0,所以0t2+2t-3>0,即所以1即可,即4a2-4a-3<0,解得-0恒成立,则b的取值范围是________.
解析 依题意,f(x)的对称轴为x=1,且开口向下,
∴当x∈[-1,1]时,f(x)是增函数.若f(x)>0恒成立,
则f(x)min=f(-1)=-1-2+b2-b+1>0,
即b2-b-2>0,∴(b-2)(b+1)>0,∴b>2或b<-1.
答案 (-∞,-1)∪(2,+∞)
5.已知f(x)是定义在(-∞,4]上的减函数,是否存在实数m,使得f(m-sin x)≤f对定义域内的一切实数x均成立?若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由.
思维启迪:不等式和函数的结合,往往要利用函数的单调性和函数的值域.
解 假设实数m存在,依题意,
可得
即
因为sin x的最小值为-1,且-(sin x-)2的最大值为0,要满足题意,必须有
解得m=-或≤m≤3.
所以实数m的取值范围是∪.
探究提高 不等式恒成立问题一般要利用函数的值域,m≤f(x)恒成立,只需m≤f(x)min.
6.设二次函数f(x)=ax2+bx+c,函数F(x)=f(x)-x的两个零点为m,n(m0的解集;
(2)若a>0,且00,即a(x+1)(x-2)>0.
当a>0时,不等式F(x)>0的解集为{x|x<-1或x>2};当a<0时,不等式F(x)>0的解集为{x|-10,且00.
∴f(x)-m<0,即f(x)
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