易失分点清零(八) 立体几何
1．(2012·湖南)某几何体的正视图和侧视图均如图所示，则该几何体的俯视图不可能是 ( )．
解析 由于该几何体的正视图和侧视图相同，且上部分是一个矩形，矩形中间无实线和虚线，因此俯视图不可能是C.
答案 C
2．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α.
其中正确的命题有 ( )．
A．①② B．②③
C．③④ D．②④
解析 对于①，m有可能也在α上，因此命题不成立；对于②，过直线n作垂直于m的平面β，由m⊥α，n?α可知β与α平行，于是必有n与α平行，因此命题成立；对于③，由条件易知m平行于β或在β上，n平行于α或在α上，因此必有m⊥n；对于④，取正方体中两异面的棱及分别经过此两棱的不平行的正方体的两个面即可判断命题不成立．综上可知选B.
答案 B
3．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是( )．
A．9π B．10π
C．11π D．12π
解析 这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是1，高是3，球的半径是1，故其表面积是2π×1×3＋2×π×12＋4π×12＝12π.
答案 D
4．如图是一几何体的三视图，那么这个几何体的体积为 ( )．
A.＋ B．2
C.＋ D.＋
解析 直观图中左侧半圆柱的半径为，长方体的长为2－＝，此几何体的高为1，所以这个几何体的体积为×π×2×1＋×1×1＝＋.
答案 A
5.过正方体ABCDA1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l可以作 ( )．
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
解析 第一类：通过点A位于三条棱之间的直线有一条体对角线AC1，第二类：在图形外部和每条棱的外角和另2条棱夹角相等，有3条，合计4条．
答案 D
6.(2013·洛阳统考)如图是一个几何体的三视图(侧视图中的弧线是半圆)，则该几何体的表面积是 ( )．
A．20＋3π B．24＋3π
C．20＋4π D．24＋4π
解析 根据几何体的三视图可知，该几何体是一个正方体和一个半圆柱的组合体，其中正方体的棱长为2，半圆柱的底面半径为1，母线长为2，故该几何体的表面积为4×5＋2×π＋2×π＝20＋3π.
答案 A
7．在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α内任意一条直线m∥平面β，则平面α∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面β内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面α；
④若点P到三角形三个顶点的距离相等，则点P在该三角形所在平面内的射影是该三角形的外心．
其中正确命题的个数为 ( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 命题①不正确，互相平行的两条直线在同一平面内的射影还可以是一条直线或者是两个点；命题②正确，在α内取两条相交直线，则为面面平行的判定定理，要注意若把“任意”改为“无数”，则命题不正确，因为这无数条线可以是平行直线；命题③不正确，这两个平面可以相交但不垂直，若要结论成立，需α⊥β；命题④正确，设P到三个顶点距离PA＝PB＝PC，P点射影为O，则OA＝OB＝OC，故为△ABC的外心．故正确命题为②④，答案为B.
答案 B
8．如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H.则以下命题中，错误的命题是 ( )．
A．点H是△A1BD的垂心
B．AH垂直于平面CB1D1
C．AH延长线经过点C1
D．直线AH和BB1所成角为45°
解析 对于A，由于AA1＝AB＝AD，所以点A在平面A1BD上的射影必到点A1、B、D的距离相等，即点H是△A1BD的外心，而A1B＝A1D＝BD，故点H是△A1BD的垂心，命题A是真命题；对于B，由于B1D1∥BD，CD1∥A1B，故平面A1BD∥平面CB1D1，而AH⊥平面A1BD，从而AH⊥平面CB1D1，命题B是真命题；对于C，由于AH⊥平面CB1D1，因此AH的延长线经过点C1，命题C是真命题；对于D，由C知直线AH即是直线AC1，又直线AA1∥BB1，因此直线AC1和BB1所成的角就等于直线AA1与AC1所成的角，即∠A1AC1，而tan A1AC1＝＝，因此命题D是假命题．
答案 D
9．如图是一个几何体的三视图．若它的体积是3，则a＝
________.
解析 ×2×a×3＝3，解得a＝.
答案
10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是________(写出所有正确结论的编号)．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
解析 如图四边形BB1D1D为矩形；四面体A1AB1D1满足选项③；四面体B1ACD1满足选项④；四面体ABD1D满足选项⑤.
答案 ①③④⑤
11．一个长方体的各顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为1,2,3，则此球的表面积为________．
解析 因为(2R)2＝12＋22＋32＝14，所以S球＝4πR2＝14π.
答案 14π
12.已知一个正三棱锥PABC的正视图如图所示，若AC＝BC＝，PC＝，则此正三棱锥的表面积为________．
解析 依题意，知这个正三棱锥的底面边长是3、高是，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是××3＝，故这个正三棱锥的侧棱长是＝3，所以这个正三棱锥的侧面也是边长为3的正三角形，故其表面积是4××32＝9.
答案 9
13．在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为DD1，DB的中点．
(1)求证：EF∥平面ABC1D1；
(2)求证：EF⊥B1C.
证明 (1)连接BD1，如图所示，在△DD1B中，E，F分别为DD1，DB的中点，则EF∥D1B，
∵D1B?平面ABC1D1，
EF?平面ABC1D1，
∴EF∥平面ABC1D1.
(2)∵B1C⊥AB，B1C⊥BC1，AB∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面ABC1D1，
又BD1?平面ABC1D1，
∴B1C⊥BD1，
又EF∥BD1，∴EF⊥B1C.
14．如图(a)所示，已知等边△ABC的边长为2，D，E分别是AB，AC的中点，沿DE将△ADE折起，使AD⊥DB，连接AB，AC，得到如图(b)所示的四棱锥ABCED.
(1)求证：AC⊥平面ABD；
(2)求四棱锥ABCED的体积．
(1)证明 连接DC，在等边△ABC中，有BD⊥CD，
而BD⊥AD，AD∩DC＝D，所以BD⊥平面ADC.
又AC?平面ADC，所以BD⊥AC.
在△ADB中，AD＝DB＝1，∠ADB＝90°，则AB＝.
由对称性，知AC＝.
在△ABC中，AB＝，
AC＝，BC＝2，则AB⊥AC.
又BD∩AB＝B，所以AC⊥平面ABD.
(2)解 在梯形BCED中，易知
S△CDE∶S△BCD＝1∶2，
所以VABCD＝2VADCE.所以VABCED＝VABCD.
又VABCD＝VCADB＝×·AD·DB·AC
＝××＝，
所以VABCED＝×＝.
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