易失分点清零(三) 导数及其应用 1.若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则 (  ). A.a=1,b=1 B.a=-1,b=1 C.a=1,b=-1 D.a=-1,b=-1 解析 ∵y′=2x+a,∴k=y′|x=0=a,∴a=1,点(0,b)在切线x-y+1=0上,∴b=1. 答案 A 2.设曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=(  ). A.2 B. C.- D.-2 解析 y′==,所以y′|x=3==-,故直线ax+y+1=0的斜率为2,所以a=-2,故选D. 答案 D 3.已知三次函数f(x)=x3-(4m-1)x2+(15m2-2m-7)x+2在x∈(-∞,+∞)上是增函数,则m的取值范围为 (  ). A.(-∞,2)∪(4,+∞) B.(-4,-2) C.(2,4) D.以上皆不正确 解析 f′(x)=x2-2(4m-1)x+(15m2-2m-7),由f′(x)≥0在x∈R上恒成立得Δ=4(4m-1)2-4(15m2-2m-7)≤0,解得2≤m≤4,由于m=2或4时,使f′(x)=0成立的仅是孤立的点,故m的取值范围是[2,4]. 答案 D 4.函数f(x)=(x2-1)3+2的极值点是(  ). A.x=1 B.x=-1 C.x=1或-1或0 D.x=0 解析 f(x)=x6-3x4+3x2+1,则f′(x)=6x5-12x3+6x=6x(x+1)2(x-1)2.所以f(x)在(-∞,-1],[-1,0]上单调递减,在[0,1],[1,+∞)上单调递增.因此只有x=0为极小值点,x=-1和x=1都不是极值点. 答案 D 5.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为 (  ). A. B. C. D.1 解析 ∵y′=′==-2e-2x,k=y′|x=0=-2e0=-2, ∴切线方程为y-2=-2(x-0),即y=-2x+2. ∵y=-2x+2与y=x的交点坐标为,y=-2x+2与x轴的交点坐标为(1,0), ∴S=×1×=. 答案 A 6.(2013·洛阳联考)设函数f(x)=ex(sin x-cos x)(0≤x≤2 012π),则函数f(x)的各极小值之和为 (  ). A.- B.- C.- D.- 解析 由f(x)=ex(sin x-cos x),得f′(x)=ex·(sin x-cos x)+ex·(cos x+sin x)=2ex·sin x. 令f′(x)=0,得x=0,π,2π,3π,…,2 012π. 又f(x)取极小值,∴x=2π,4π,6π,…,2 010π. ∴各极小值之和为f(2π)+…+f(2 010π) =e2π(0-1)+e4π(0-1)+…+e2 010π(0-1) =-(e2π+e4π+…+e2 010π) =-=-,故选D. 答案 D 7.设f(x)=x3+ax2+5x+6在区间[1,3]上为单调函数,则实数a的取值范围为 (  ). A.[-,+∞) B.(-∞,-3] C.(-∞,-3]∪[-,+∞) D.[-,] 解析 由已知得f′(x)=x2+2ax+5,当函数在区间[1,3]单调递增时,只需f′(x)=x2+2ax+5≥0在x∈[1,3]上恒成立即可,分离变量得:a≥-=-,由于-≤-,故只需a≥-即可;同理若函数递减,只需f′(x)=x2+2ax+5≤0在x∈[1,3]上恒成立即可,由二次函数知识得只需?a≤-3,综上所述只需a≥-或a≤-3即可. 答案 C 8.设p:f(x)=x3+2x2+mx+1在(-∞,+∞)内单调递增,q:m≥,则p是q的 (  ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析 ∵f(x)=x3+2x2+mx+1,∴f′(x)=3x2+4x+m. 由f(x)为增函数得f′(x)≥0在R上恒成立,则Δ≤0,即16-12m≤0,解得m≥,故为充要条件. 答案 C 9.已知曲线C:y=ln x-4x与直线x=1交于一点P,那么曲线C在点P处的切线方程是________. 解析 由题可解得P(1,-4),则由y′=-4可得曲线C在点P处的切线斜率为k=y′|x=1=-3,故切线方程为y-(-4)=-3(x-1),即3x+y+1=0. 答案 3x+y+1=0 10.函数f(x)=x3-3x2+1在x=________处取得极小值. 解析 由题意知f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)=0,得x=0或2,由f′(x)>0,得x<0或x>2,由f′(x)<0,得00)上任意一点处的切线的斜率为k,若k的最小值为4,则此时切点的坐标为________. 解析 函数y=x2+aln x(a>0)的定义域为{x|x>0},y′=2x+≥2=4,则a=2,当且仅当x=1时“=”成立,将x=1代入曲线方程得y=1,故所求的切点坐标是(1,1). 答案 (1,1) 12.已知函数f(x)=,若函数f(x)在区间上存在极值,则正实数a的取值范围为________. 解析 ∵f(x)=,其定义域为(0,+∞),且f′(x)=-.令f′(x)=0,则x=1. 当00;当x>1时,f′(x)<0. ∴f(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减, 即当x=1时,函数f(x)取得极大值. ∵函数f(x)在区间(a>0)上存在极值, ∴解得
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