易失分点清零(五) 平面向量
1.已知点O,A,B是平面上的三点,直线AB上有一点C,满足=,则等于 ( ).
A.- B.+
C. -O D. +
解析 由=,知点C为AB的中点,由向量加法可得=+.
答案 D
2.若平面向量a=(1,x)和b=(2x+3,-x)互相平行,其中x∈R.则|a-b|=( ).
A.-2或0 B.2
C.2或2 D.2或10
解析 由a∥b,得x=0或-2.当x=-2,即a-b=(2,-4)时,|a-b|==2;当x=0,即a-b=(-2,0)时,|a-b|=2.综上,知|a-b|=2或2.
答案 C
3.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2B,则 ( ).
A.+=0 B.+=0
C.+=0 D.++=0
解析 据已知+=2,可得点P为线段AC的中点,故有+=0.
答案 B
4.在△ABC中,=(2cos α,2sin α),=(5cos β,5sin β),若·=-5.则∠ABC= ( ).
A. B.
C. D.
解析 由已知得||=2,||=5,又因为·=-5,所以cos∠ABC=cos〈,〉==,又∵∠ABC∈(0,π),所以∠ABC=.
答案 B
5.已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b= ( ).
A.(-2,-4) B.(-3,-6)
C.(-4,-8) D.(-5,-10)
解析 因为a∥b,所以1×m=2×(-2),即m=-4.故2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8).
答案 C
6.设点M是线段BC的中点,点A在直线BC外,2=16,|+|=|-|,则||= ( ).
A.8 B.4
C.2 D.1
解析 由2=16,得||=4,|+|=|A-A|=|B|=4.而|+|=2||,故||=2,故选C.
答案 C
7.已知a,b是不共线的向量,=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R),那么A,B,C三点共线的充要条件是 ( ).
A.λ+μ=2 B.λ-μ=1
C.λμ=-1 D.λμ=1
解析 由=λa+b,=a+μb(λ,μ∈R)及A,B,C三点共线得:=t ,所以λa+b=t(a+μb)=ta+tμb,即可得所以λμ=1.故选D.
答案 D
8.已知两个单位向量a与b的夹角为135°,则|a+λb|>1的充要条件是( ).
A.λ∈(0,)
B.λ∈(-,0)
C.λ∈(-∞,0)∪(,+∞)
D.λ∈(-∞,-)∪(,+∞)
解析 |a+λb|>1?a2+2λa·b+λ2b2=1+λ2+2λ·1·1·cos 135°=λ2-λ+1>1?λ2-λ>0?λ<0或λ>,故选C.
答案 C
9.已知向量a=(1-cos θ,1),b=,且a∥b,则锐角θ=________.
解析 由于a∥b,故(1-cos θ)(1+cos θ)=1×,
即sin2θ=.又θ为锐角,故sin θ=,所以θ=.
答案
10.如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=2,AC=1,D是边BC上一点,DC=2BD,则A·=________.
解析 如图,∵DC=2BD,
∴=B,
又∵=+=+B=+(-)=A+A,
∴·=·(-)
=·-A2+A2
=||||cos 120°-||2+||2=-.
答案 -
11.已知=(x,2x),=(-3x,2),如果∠BAC是钝角,则x的取值范围是________.
解析 由∠BAC是钝角,知·<0且与不平行,即-3x2+4x<0且2x+6x2≠0,得x>或x<0且x≠-,故填∪∪.
答案 ∪∪
12.已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是________.
解析 法一 记|c|=r,设a=(1,0),b=(0,1),c=(rcos θ,rsin θ),由(a-c)·(b-c)=0,
得(1-rcos θ,-rsin θ)·(-rcos θ,1-rsin θ)=0,
即-rcos θ+r2cos2θ-rsin θ+r2sin2θ=0,
即r2=r(sin θ+cos θ),当r≠0时,即r=sin θ+cos θ=sin≤,即|c|的最大值是.
法二 设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则(a-c)·(b-c)=0,即(1-x,-y)·(-x,1-y)=0,即x2+y2-x-y=0,即2+2=,这是一个圆心坐标为,半径为的圆,所求的问题等价于这个圆上的点到坐标原点的最大距离,根据图形,这个最大距离是,即所求的最大值为.
答案
13.已知O为坐标原点,向量=(2,0),=(2,2),=(cos α,sin α),求向量与的夹角的范围.
解 ∵=(2,2),=(2,0),∴B(2,0),C(2,2).
∵=(cos α,sin α),
∴=+=(2+cos α,2+sin α),
∴点A的轨迹是以C(2,2)为圆心,为半径的圆.
如图,过原点O作此圆的切线,切点分别为M,N,连接CM,CN,则向量与的夹角范围是∠MOB≤〈,〉≤∠NOB.
由||=2,||=||=||,
知∠COM=∠CON=,但∠COB=.
∴∠MOB=∠COB-∠COM=,∠NOB=∠COB+∠CON=,故≤〈,〉≤.
14.设函数f(x)=cos-cos x,将f(x)的图象按向量a=平移后得到函数g(x)的图象.
(1)求g(x)的解析式;
(2)设h(x)=f(ωx)(ω>0),求使h(x)在区间上是减函数的ω的最大值.
解 (1)f(x)=cos-cos x
=-cos x
=cos x-sin x=cos,
所以g(x)=cos=cos.
(2)h(x)=f(ωx)=cos,
由x∈,得ωx+∈,
因为h(x)在区间上是减函数,
所以(k∈Z)?
因为ω>0,则得-
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