易失分点清零(六) 数 列
1.记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=3(an-2),则a2= ( ).
A. B.5
C. D.
解析 当n=1时,有a1=S1=3(a1-2),解得a1=3;
当n=2时,有S2=3(a2-2),即a1+a2=3(a2-2),
解得a2=.
答案 C
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和,8a2+a5=0,则= ( ).
A.-11 B.-8
C.5 D.11
解析 设等比数列的首项为a1,公比为q.因为8a2+a5=0,所以8a1q+a1q4=0.∴q3+8=0,∴q=-2,
∴=·===-11.
答案 A
3.等差数列{an}的公差不为零,首项a1=1,a2是a1和a5的等比中项,则数列{an}的前10项之和是 ( ).
A.90 B.100
C.145 D.190
解析 设公差为d(d≠0),则有a=a1a5,(1+d)2=1+4d,d2-2d=0.又d≠0,因此d=2,{an}的前10项和等于10a1+×2=100.
答案 B
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且S10=12,S20=17,则S30为( ).
A.15 B.20
C.25 D.30
解析 由等差数列的性质,知S10,S20-S10,S30-S20成等差数列,故有2(S20-S10)=S10+(S30-S20),整理,得S30=3S20-3S10=3×(17-12)=15.
答案 A
5.已知等差数列{an}满足a2=3,Sn-Sn-3=51(n>3),Sn=100,则n的值为
( ).
A.8 B.9
C.10 D.11
解析 根据已知的两个条件列出方程,注意其中Sn-Sn-3=51(n>3)就是an-2+an-1+an=51,这个结果就是3an-1,由此得an-1=17,这样a2+an-1=a1+an=20,利用等差数列的求和公式Sn=,故100=,解得n=10.
答案 C
6.已知三角形的三边构成等比数列,它们的公比为q,则q的取值范围是
( ).
A. B.
C. D.
解析 设三角形的三边分别为a,aq,aq2.①当q≥1时,由a+aq>aq2,解得1≤q<;②当0a,解得0时,S3=1+q+≥1+2 =3;
当公比q<0时,S3=1-≤1-2 =-1,所以S3∈(-∞,-1]∪[3,+∞).
答案 D
8.数列{an}的前n项和记为Sn,a1=1,an+1=2Sn+1(n≥1,n∈N*),则数列{an}的通项公式是________.
解析 由an+1=2Sn+1,可得an=2Sn-1+1(n≥2),两式相减,得an+1-an=2an,an+1=3an(n≥2).
又a2=2S1+1=3,
所以a2=3a1,故{an}是首项为1,公比为3的等比数列.
所以an=3n-1.
答案 an=3n-1
9.若数列{an}的前n项和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),则数列{nan}中数值最小的项是第________项.
解析 当n=1时,a1=S1=-9;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11.
可以统一为an=2n-11(n∈N*),故nan=2n2-11n,关于n的二次函数的对称轴是n=,考虑到n为正整数,且对称轴离n=3较近,故数列{nan}中数值最小的项是第3项.
答案 3
10.设等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3+S6=2S9,则数列的公比q是________.
解析 若q=1,则有S3=3a1,S6=6a1,S9=9a1,但a1≠0,即得S3+S6≠2S9,与题设矛盾,故q≠1.又依题意S3+S6=2S9?+=2·?q3(2q6-q3-1)=0,即(2q3+1)(q3-1)=0,因为q≠1,所以q3-1≠0,则2q3+1=0,解得q=-.
答案 -
11.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且满足=,则=________.
解析 =====.
答案
12.已知数列{an}的首项a1=,an+1=,n=1,2,3,….
(1)证明:数列是等比数列;
(2)求数列的前n项和Sn.
(1)证明 因为an+1=,
所以==+·.
所以-1=.
又a1=,所以-1=.
所以数列是以为首项,为公比的等比数列.
(2)解 由(1),知-1=·=,
即=+1,所以=+n.
设Tn=+++…+, ①
则Tn=++…++, ②
由①-②,得
Tn=++…+-=-=1--,所以Tn=2--=2-.
又1+2+3+…+n=,
所以数列的前n项和Sn=2-+=-.
13.(2013·银川质检)已知单调递增的等比数列{an}满足a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=anlogan,Sn=b1+b2+…+bn,求使Sn+n·2n+1>50成立的最小正整数n的值.
解 (1)设此等比数列为a1,a1q,a1q2,a1q3,…,其中a1≠0,q≠0.
由题意知:a1q+a1q2+a1q3=28, ①
a1q+a1q3=2(a1q2+2). ②
②×7-①得6a1q3-15a1q2+6a1q=0,
即2q2-5q+2=0,解得q=2或q=.
∵等比数列{an}单调递增,∴a1=2,q=2,∴an=2n.
(2)由(1)得bn=-n·2n,
∴Sn=b1+b2+…+bn=-(1×2+2×22+…+n·2n).
设Tn=1×2+2×22+…+n·2n, ③
则2Tn=1×22+2×23+…+n·2n+1 ④
由③-④,得-Tn=1×2+1×22+…+1·2n-n·2n+1
=2n+1-2-n·2n+1=(1-n)·2n+1-2,
∴-Tn=-(n-1)·2n+1-2.
∴Sn=-(n-1)·2n+1-2.
要使Sn+n·2n+1>50成立,
即-(n-1)·2n+1-2+n·2n+1>50,即2n>26.
∵24=16<26,25=32>26,且y=2x是单调递增函数,
∴满足条件的n的最小值为5.
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