易失分点清零(七) 不等式
1．已知a，b，c，d为实数，且c>d，则“a>b”是“a－c>b－d”的 ( )．
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由a>b且c>d不能推知a－c>b－d，如取a＝c＝2，b＝d＝1；反过来，由a－c>b－d与c>d可得a－c＋c>b－d＋c>b－c＋c，即有a>b.综上所述，选B.
答案 B
2．已知a<0，b<－1，那么下列不等式成立的是 ( )．
A．a>> B.>>a
C.>a> D.>>a
解析 由a<0，b<－1，则>0，<0，首先排除A、B，对于选项C、D，因为b<－1，所以b2>1，所以0<<1.
又因为a<0，所以>0>>a.
答案 D
3．设函数f(x)＝若f(a)2x
C.<1 D．x2＋4≥4x
解析 选项A中当x<0时无意义，选项B中当x＝1时不成立，选项C中当x＝0时不成立．选项D成立．
答案 D
5．已知a>b>c>0，若P＝，Q＝，则 ( )．
A．P≥Q B．P≤Q
C．P>Q D．Pb>c>0，所以P－Q<0，即P0，b>0，则＋＋2的最小值是 ( )．
A．2 B．2
C．4 D．5
解析 依题意得＋＋2≥2 ＋2≥4 ＝4，当且仅当＝，即a＝b时，取等号，故应选C.
答案 C
7．已知x>0，y>0，x＋2y＋2xy＝8，则x＋2y的最小值是 ( )．
A．3 B．4
C. D.
解析 x＋2y＝8－x·(2y)≥8－2，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，即(x＋2y－4)(x＋2y＋8)≥0，又x＋2y>0，∴x＋2y≥4.
答案 B
8．(2013·衡阳六校联考)已知实数x，y满足则x2＋y2的最小值是 ( )．
A．2 B．5
C. D.
解析 根据题意作出的不等式组表示的平面区域如图所示，注意到x2＋y2＝[]2，
故x2＋y2可视为该平面区域内的点(x，y)与原点的距离的平方．结合图形可知，该平面区域内的所有点与原点的距离的最小值等于原点到直线2x＋y－2＝0的距离，即为＝.因此，x2＋y2的最小值是2＝，选D.
答案 D
9．设x>0，则函数y＝x＋－1的最小值为________．
解析 y＝x＋－1＝＋－≥
2 －＝，当且仅当x＋＝，即x＝时等号成立．所以函数的最小值为.
答案
10．若方程x2＋(m＋2)x＋m＋5＝0只有正根，则m的取值范围是________．
解析 由题意知方程有根，所以Δ≥0.
设方程的根为x1，x2(x1>0，x2>0)，
则由得－50，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，则＋的最小值为________．
解析 函数y＝a1－x过定点A(1,1)，因为点A(1,1)在直线mx＋ny－1＝0(mn>0)上，所以有m＋n＝1，
＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4.
答案 4
12．设实数x，y满足不等式组则z＝的取值范围是________．
解析 作出满足x≥1，y≥1，x＋y≤6，x－y＋1≥0的可行域如图中的阴影部分，四个顶点的坐标分别为A(1,1)、B(1,2)、C、D(5，1)，将目标函数变形为z＝＝＝，而k＝表示可行域中的点(x，y)与原点连线的斜率，数形结合易得可行域中的点D、B与原点连线的斜率分别取得最小值、最大值，故k＝∈，再由函数的性质易得z∈.
答案
13．已知f(x)＝.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)若对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求实数t的范围．
解 (1)f(x)>k?kx2－2x＋6k<0，
由已知其解集为{x|x<－3或x>－2}，
得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
所以－2－3＝，即k＝－.
(2)∵x>0，f(x)＝＝≤，
由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故实数t的取值范围是.
14．(2012·泰州模拟)设函数f(x)＝x2＋ax＋3.
(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；
(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．
解 (1)x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，须Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，所以－6≤a≤2.所以a的取值范围是[－6,2]．
(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：
①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.
②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，
在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，
即
即?
此不等式组无解．
③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，
在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，
即即
??－7≤a≤－6.
综合①②③得a∈[－7,2]．
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