小题专项集训?九? 立体几何
(建议用时：40分钟 分值：75分)
1．如图是四面体ABCD的直观图，其中，AB⊥平面BCD，BD⊥CD，则该四面体的俯视图是 ( )．
解析 据三视图的作图规则，俯视图是几何体在底投影面上的投影“展平后”得到的，∴正确选项是D.
答案 D
2．如图，一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的可能图形为 ( )．
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
答案 B
3.如图，是一个几何体的三视图，侧视图和正视图均为矩形，俯视图为正三角形，尺寸如图，则该几何体的侧面积为 ( )．
A．6 B．12
C．24 D．3
解析 注意到此题的几何体是底面边长为2的正三角形，于是侧面积为S＝6×4＝24.
答案 C
4.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长为2，那么这个几何体的体积为
( )．
A. B.
C．4 D．8
解析 由三视图可得，该几何体是一个正三棱锥，其三条侧棱两两垂直，且长度为2，其体积V＝××22×2＝.
答案 A
5．已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“m⊥β”是“α⊥β”的 ( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 从两个方面分别判断．若m?α，m⊥β，由面面垂直的判定定理知必有α⊥β，所以充分性成立；反之，若直线m?α，α⊥β，则直线m与平面β可以平行，也可以相交，所以必要性不成立，即在m?α的前提下，m⊥β是α⊥β成立的充分不必要条件．
答案 A
6．给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是 ( )．
A．①和② B．②和③
C．③和④ D．②和④
解析 分别与两条异面直线都相交的两条直线可以是相交直线也可以是异面直线，即命题①不正确；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直，即命题②正确；垂直于同一直线的两条直线相互平行或异面或相交，即命题③不正确；命题④正确，综上可得真命题的序号为②和④，故应选D.
答案 D
7．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，a⊥β，则α⊥β；③若a⊥β，α⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β.
其中正确命题的个数为 ( )．
A．1 B．2
C．3 D．4
解析 逐一判断．①②③④均正确，故正确命题是4个．
答案 D
8．(2013·金丽衢模拟)已知α，β是不同的两个平面，m，n是不同的两条直线，则下列命题中不正确的是 ( )．
A．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
B．若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C．若m⊥α，m?β，则α⊥β
D．若m∥α，α∩β＝n，则m∥n
解析 对于A，如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于该平面，故选项A正确；对于B，如果一条直线同时垂直于两个平面，那么这两个平面相互平行，故选项B正确；对于C，如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面相互垂直，故选项C正确；对于D，注意到直线m与直线n可能异面，因此选项D不正确．综上所述，选D.
答案 D
9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )．
A．32 B．33
C．34 D．35
解析 由三视图画出几何体，再求体积．由三视图可知，几何体是如图所示的组合体，正方体的棱长为3，正四棱锥高为2，所以组合体的体积为V＝33＋×32×2＝33.
答案 B
10．已知球的直径SC＝4，A、B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥SABC的体积为 ( )．
A．3 B．2
C. D．1
解析 由题意知，如图所示，在棱锥SABC中，△SAC，△SBC都是有一个角为30°的直角三角形，其中AB＝，SC＝4，所以SA＝SB＝2，AC＝BC＝2，作BD⊥SC于D点，连接AD，易证SC⊥平面ABD，因此V＝××()2×4＝.
答案 C
11.已知一个空间几何体的三视图如右图所示，其中正视图、侧视图都是由半圆和矩形组成，根据图中标出的尺寸，计算这个几何体的表面积是________．
解析 由三视图可得，该几何体是由一个圆柱和一个半球组合而成的，其半球的半径为1，圆柱的底面半径为1，高为4，则其表面积为S＝2π×12＋2π×1×4＋π×12＝11π.
答案 11π
12．(2012·全国)已知正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为BB1、CC1的中点，那么异面直线AE与D1F所成角的余弦值为________．
解析 法一 利用平移法求解．连结DF，则AE∥DF，∴∠D1FD即为异面直线AE与D1F所成的角．设正方体棱长为a，则D1D＝a，DF＝a，D1F＝a，
∴cos ∠D1FD＝＝.
法二 以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，并设正方体棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,2，1)，D1(0,0,2)∴有＝(0,2,1)，＝(0,2，－1)，∴·＝0＋4－1＝3，||＝＝，||＝＝，
∴cos〈，〉＝＝.
答案
13．(2013·泰安模拟)如图，正方形ACDE与等腰直角三角形ACB所在的平面互相垂直，且AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，F、G分别是线段AE、BC的中点．AD与GF所成角的余弦值为________．
解析 以C为原点建立空间直角坐标系Cxyz，A(0,2,0)，B(2,0,0)，D(0,0,2)，G(1,0,0)，F(0,2,1)，＝(0，－2,2)，＝(－1,2，1)，||＝2，||＝，·＝－2，
cos〈，〉＝＝－.
故AD与GF所成角的余弦值为.
答案
14.如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，PQ∥AC，QM∥BD，则下列命题中，正确的有________________________________________________________________________．
①AC⊥BD；
②AC∥截面PQMN；
③AC＝BD；
④异面直线PM与BD所成的角为45°.
解析 由PQ∥AC，QM∥BD，PQ⊥QM可得AC⊥BD，故①正确；由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故②正确；异面直线PM与BD所成的角等于PM与PN所成的角，故④正确；③是错误的，故填①②④.
答案 ①②④
15.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.
解析 由题意易知，B1D⊥平面ACC1A1，所以B1D⊥CF.要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥DF即可．令CF⊥DF，设AF＝x，则A1F＝3a－x.易知Rt△CAF∽Rt△FA1D，得＝，即＝，整理得x2－3ax＋2a2＝0，解得x＝a或x＝2a.
答案 a或2a
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