小题专项集训?十一? 圆锥曲线
(建议用时：40分钟 分值：75分)
1．双曲线－＝1的焦点坐标为 ( )．
A．(3,0)和(－3,0) B．(2,0)和(－2,0)
C．(0,3)和(0，－3) D．(0,2)和(0，－2)
解析 在双曲线中，c＝＝＝3，由焦点在x轴上，可知其焦点坐标是(±3,0)．
答案 A
2．抛物线y＝－2x2的焦点坐标是 ( )．
A. B．(－1,0)
C. D.
解析 由题意得x2＝－y，所以焦点坐标是.
答案 D
3．已知中心在原点的双曲线的顶点与焦点分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点与顶点，若双曲线的离心率为2，则椭圆离心率为 ( )．
A. B.
C. D.
解析 依题意知双曲线的顶点(c,0)，(－c,0)，焦点为(a,0)，(－a,0)，则＝2，故椭圆的离心率e＝＝.
答案 B
4．设椭圆＋＝1(m>n>0)的右焦点与抛物线y2＝8x的焦点相同，离心率为，则此椭圆的方程为 ( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依题意知：＝，得m＝4.由n2＝m2－22＝12，所以所求椭圆方程是＋＝1.
答案 B
5．已知中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的离心率为，其焦点到渐近线的距离为1，则此双曲线的方程为 ( )．
A.－＝1 B.－＝1
C.－y2＝1 D．x2－y2＝1
解析 根据题目条件中双曲线的离心率为，可以排除选项B和D，选项A中，一个焦点为(，0)，其渐近线方程为x±y＝0，那么焦点到渐近线的距离为d＝＝≠1，也可以排除，故选C.
答案 C
6．P为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为该椭圆的两个焦点，若∠F1PF2＝60°，则·＝ ( )．
A．3 B.
C．2 D．2
解析 ∵S△PF1F2＝b2tan ＝3×tan 30°＝＝||·||sin 60°，∴||·||＝4，∴·＝4×＝2.
答案 D
7．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( )．
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析 令A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为抛物线的焦点F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，将其代入y2＝2px＝2p＝2py＋p2，所以y2－2py－p2＝0，所以＝p＝2，所以抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1，故选B.
答案 B
8．在焦点分别为F1，F2的双曲线上有一点P，若∠F1PF2＝，|PF2|＝2|PF1|，则该双曲线的离心率等于 ( )．
A．2 B.
C．3 D.
解析 在△F1PF2中，由余弦定理可得
cos ＝＝，
解得|PF1|＝c，则|PF2|＝c，
由双曲线的定义可得|PF2|－|PF1|＝c－c＝2a，
即＝，故选D.
答案 D
9．已知抛物线y2＝8x的准线与双曲线－y2＝1交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则双曲线的离心率是 ( )．
A. B.
C．2 D．2
解析 抛物线的准线方程为x＝－2，设准线与x轴的交点为D(－2,0)，由题意得∠AFB＝90°，故|AB|＝2|DF|＝8，故点A的坐标为(－2,4)．由点A在双曲线－y2＝1上可得－42＝1，解得m＝.故c2＝m＋1＝，故双曲线的离心率e＝＝ ＝.
答案 B
10．已知椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)与双曲线C2：x2－＝1有公共的焦点，C2的一条渐近线与以C1的长轴为直径的圆相交于A，B两点．若C1恰好将线段AB三等分，则 ( )．
A．a2＝ B．a2＝13
C．b2＝ D．b2＝2
解析 对于直线与椭圆、圆的关系，如图所示，设直线AB与椭圆C1的一个交点为C(靠近A的交点)，
则|OC|＝，∵tan∠COx＝2，
∴sin∠COx＝，cos∠COx＝，
则C的坐标为，代入椭圆方程得＋＝1，∵5＝a2－b2，∴b2＝.
答案 C
11．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则p的值为________．
解析 抛物线的焦点为，椭圆中，a＝，b＝，所以c＝2，即右焦点为(2,0)．所以＝2，即p＝4.
答案 4
12．双曲线－y2＝1(a>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为________．
解析 由题意，知＝ ＝2，解得a＝，故该双曲线的渐近线方程是x±y＝0，即y＝±x.
答案 y＝±x
13．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝4|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝＝－e2.
要求e的最大值，即求cos∠F1PF2的最小值，
∴当cos∠F1PF2＝－1时，得e＝，即e的最大值为.
答案
14．在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2在x轴上，离心率为.过F1的直线l交C于A，B两点，且△ABF2的周长为16，那么C的方程为________．
解析 根据椭圆C的焦点在x轴上，可设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)，
∵e＝，∴＝.根据△ABF2的周长为16，得4a＝16，
∴a＝4，b＝2，∴椭圆C的方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
15．已知抛物线y2＝4px(p>0)与双曲线－＝1(a>0，b>0)有相同的焦点F，点A是两曲线的交点，且AF⊥x轴，则双曲线的离心率为________．
解析 依题意，得F(p,0)，因为AF⊥x轴，设A(p，y)，且A点位于第一象限，y2＝4p2，所以y＝2p.所以A(p,2p)．又点A在双曲线上，所以－＝1.又因为c＝p，所以－＝1，化简得c4－6a2c2＋a4＝0，
即4－62＋1＝0.所以e2＝3＋2，e＝＋1.
答案 ＋1
【点此下载】