10.2 排列与组合
一、选择题
1．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目．如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为
( )．
A．42 B．30 C．20 D．12
解析 可分为两类：两个节目相邻或两个节目不相邻，若两个节目相邻，则有AA＝12种排法；若两个节目不相邻，则有A＝30种排法．由分类计数原理共有12＋30＝42种排法(或A＝42)．
答案 A
2．a∈N*，且a<20，则(27－a)(28－a)…(34－a)等于( )
A．A B．A C．A D．A
解析 A＝(27－a)(28－a)…(34－a)．
答案 D
3．从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有( )
A．252个 B．300个
C．324个 D．228个
解析 (1)若仅仅含有数字0，则选法是CC，可以组成四位数CCA＝12×6＝72个；
(2)若仅仅含有数字5，则选法是CC，可以组成四位数CCA＝18×6＝108个；
(3)若既含数字0，又含数字5，选法是CC，排法是若0在个位，有A＝6种，若5在个位，有2×A＝4种，故可以组成四位数CC(6＋4)＝120个．
根据加法原理，共有72＋108＋120＝300个．
答案 B
4．2013年春节放假安排：农历除夕至正月初六放假，共7天．某单位安排7位员工值班，每人值班1天，每天安排1人．若甲不在除夕值班，乙不在正月初一值班，而且丙和甲在相邻的两天值班，则不同的安排方案共有( )
A．1 440种 B．1 360种
C．1 282种 D．1 128种
解析 采取对丙和甲进行捆绑的方法：
如果不考虑“乙不在正月初一值班”，则安排方案有：A·A＝1 440种，
如果“乙在正月初一值班”，则安排方案有：C·A·A·A＝192种，
若“甲在除夕值班”，则“丙在初一值班”，则安排方案有：A＝120种．
则不同的安排方案共有1 440－192－120＝1 128(种)．
答案 D
5．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有( )．
A．16种 B．36种 C．42种 D．60种
解析 若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法，由分类计数原理知共A＋CA＝60种方法．
答案 D
6．某校开设A类选修课3门，B类选修课4门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有( )．
A．30种 B．35种 C．42种 D．48种
解析 法一 可分两种互斥情况：A类选1门，B类选2门或A类选2门，B类选1门，共有CC＋CC＝18＋12＝30(种)选法．
法二 总共有C＝35(种)选法，减去只选A类的C＝1(种)，再减去只选B类的C＝4(种)，共有30种选法．
答案 A
7．有5本不同的书，其中语文书2本，数学书2本，物理书1本．若将其并排摆放在书架的同一层上，则同一科目书都不相邻的放法种数是( )．
A．24 B．48 C．72 D．96
解析 A－2AAA－AAA＝48.
答案 B
二、填空题
8．5名乒乓球队员中，有2名老队员和3名新队员．现从中选出3名队员排成1,2,3号参加团体比赛，则入选的3名队员中至少有1名老队员，且1、2号中至少有1名新队员的排法有________种．(以数字作答)
解析 ①只有1名老队员的排法有C·C·A＝36种．
②有2名老队员的排法有C·C·C·A＝12种；
所以共48种．
答案 48
9．将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排1名学生，其中甲同学不能分配到A班，那么不同的分配方案种数是________．
解析 将4名新来的同学分配到A、B、C三个班级中，每个班级至少安排一名学生有CA种分配方案，其中甲同学分配到A班共有CA＋CA种方案．因此满足条件的不同方案共有CA－CA－CA＝24(种)．
答案 24
10．从5名男医生、4名女医生中选3名医生组成一个医疗小分队，要求男、女医生都有，则不同的组队方案共有________种．
解析 分1名男医生2名女医生、2名男医生1名女医生两种情况，或者用间接法．
直接法：CC＋CC＝70.
间接法：C－C－C＝70.
答案 70
11．有五名男同志去外地出差，住宿安排在三个房间内，要求甲、乙两人不住同一房间，且每个房间最多住两人，则不同的住宿安排有________种(用数字作答)．
解析 甲、乙住在同一个房间，此时只能把另外三人分为两组，这时的方法总数是CA＝18，而总的分配方法数是把五人分为三组再进行分配，方法数是A＝90，故不同的住宿安排共有90－18＝72种．
答案 72
12．某车队有7辆车，现要调出4辆按一定顺序出去执行任务．要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出有________种不同的调度方法(填数字)．
解析 先从除甲、乙外的5辆车任选2辆有C种选法，连同甲、乙共4辆车，排列在一起，选从4个位置中选两个位置安排甲、乙，甲在乙前共有C种，最后，安排其他两辆车共有A种方法，∴不同的调度方法为C·C·A＝120种．
答案 120
三、解答题
13．有六名同学按下列方法和要求分组，各有不同的分组方法多少种？
(1)分成三个组，各组人数分别为1、2、3；
(2)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为1、2、3；
(3)分成三个组，各组人数分别为2、2、2；
(4)分成三个组去参加三项不同的试验，各组人数分别为2、2、2；
(5)分成四个组，各组人数分别为1,1,2,2；
(6)分成四个组去参加四项不同的活动，各组人数分别为1、1、2、2.
解析 (1)即CCC＝60.
(2)即CCCA＝60×6＝360.
(3)即＝15.
(4)即CCC＝90.
(5)即·＝45.
(6)CCCC＝180.
14．要从5名女生，7名男生中选出5名代表，按下列要求，分别有多少种不同的选法？
(1)至少有1名女生入选；(2)至多有2名女生入选；(3)男生甲和女生乙入选；(4)男生甲和女生乙不能同时入选；(5)男
生甲、女生乙至少有一个人入选．
解析 (1)C－C＝771；
(2)C＋CC＋CC＝546；
(3)CC＝120；
(4)C－CC＝672；
(5)C－C＝540.
15．在m(m≥2)个不同数的排列p1p2…pm中，若1≤i＜j≤m时pi＞pj(即前面某数大于后面某数)，则称pi与pj构成一个逆序，一个排列的全部逆序的总数称为该排列的逆序数．记排列(n＋1)n(n－1)…321的逆序数为an.如排列21的逆序数a1＝1，排列321的逆序数a2＝3，排列4 321的逆序数a3＝6.
(1)求a4、a5，并写出an的表达式；
(2)令bn＝＋，证明2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3，n＝1,2，….
解析 (1)由已知条件a4＝C＝10，a5＝C＝15，则an＝C＝.
(2)证明 bn＝＋＝＋＝2＋2
∴b1＋b2＋…＋bn
＝2n＋2
＝2n＋2，
∴2n＜b1＋b2＋…＋bn＜2n＋3.
16．已知10件不同的产品中有4件次品，现对它们一一测试，直至找到所有4件次品为止．
(1)若恰在第2次测试时，才测试到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，则共有多少种不同的测试方法？
(2)若至多测试6次就能找到所有4件次品，则共有多少种不同的测试方法？
解析 (1)若恰在第2次测试时，才测到第一件次品，第8次才找到最后一件次品，若是不放回的逐个抽取测试．
第2次测到第一件次品有4种抽法；
第8次测到最后一件次品有3种抽法；
第3至第7次抽取测到最后两件次品共有A种抽法；剩余4次抽到的是正品，共有AAA＝86 400种抽法．
(2)检测4次可测出4件次品，不同的测试方法有A种，
检测5次可测出4件次品，不同的测试方法有4AA种；
检测6次测出4件次品或6件正品，则不同的测试方法共有4AA＋A种．
由分类计数原理，满足条件的不同的测试方法的种数为
A＋4AA＋4AA＋A＝8 520.
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