10.3 二项式定理
一、选择题
1．二项式6的展开式中的常数项是( )
A．20 B．－20
C．160 D．－160
解析 二项式(2x－)6的展开式的通项是Tr＋1＝C·(2x)6－r·r＝C·26－r·(－1)r·x6－2r.令6－2r＝0，得r＝3，因此二项式(2x－)6的展开式中的常数项是C·26－3·(－1)3＝－160.
答案 D
2．若二项式n的展开式中第5项是常数项，则正整数n的值可能为( )．
A．6 B．10 C．12 D．15
解析 Tr＋1＝C()n－rr＝(－2)rCx，当r＝4时，＝0，又n∈N*，∴n＝12.
答案 C
3.(1－t)3dt的展开式中x的系数是( )
A．－1 B．1
C．－4 D．4
解析 (1－t)3dt＝＝－＋，故这个展开式中x的系数是
－＝1.
答案 B
4．已知8展开式中常数项为1 120，其中实数a是常数，则展开式中各项系数的和是( )．
A．28 B．38 C．1或38 D．1或28
解析 由题意知C·(－a)4＝1 120，解得a＝±2，令x＝1，得展开式各项系数和为(1－a)8＝1或38.
答案 C
5．设n的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中x的系数为( )．
A．－150 B．150 C．300 D．－300
解析 由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝C(5x)4－rr＝(－1)r54－rCx4－，
令4－＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案 B
6.2n展开式的第6项系数最大，则其常数项为( )
A．120 B．252
C．210 D．45
解析 根据二项式系数的性质，得2n＝10，故二项式2n的展开式的通项公式是
Tr＋1＝C()10－r·r＝Cx5－－，根据题意5－－＝0，解得r＝6，故所求的常数项等于C＝C＝210.正确选项为C.
答案 C
7．在(x－)2 006的二项展开式中，含x的奇次幂的项之和为S，当x＝时，S等于( )．
A．23 008 B．－23 008 C．23 009 D．－23 009
解析 (x－)2 006＝x2 006＋Cx2 005(－)＋Cx2 004(－)2＋…＋(－)2 006，由已知条件S＝－C()2 006－C()2 006－…－C()2 006＝－22 005·21 003＝－23 008.
答案 B
二、填空题
8．(1＋x)3(1＋)3的展开式中的系数是________．
解析 利用二项式定理得(1＋x)33的展开式的各项为Cxr·Cx－n＝CCxr－n，
令r－n＝－1，故可得展开式中含项的是＋＋＝，
即(1＋x)33的展开式中的系数是15.
答案 15
9． 设x6＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋a3(x－1)3＋a4(x－1)4＋a5(x－1)5＋a6(x－1)6，则a3＝________.
解析 x6＝[1＋(x－1)]6，故a3＝C＝20.
答案 20
10．若(1＋x＋x2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a12x12，则a2＋a4＋…＋a12＝________.
解析 令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a12＝36，令x＝－1，则a0－a1＋a2－…＋a12＝1，
∴a0＋a2＋a4＋…＋a12＝.
令x＝0，则a0＝1，∴a2＋a4＋…＋a12＝－1＝364.
答案 364
11．已知(1＋x＋x2)n的展开式中没有常数项，n∈N*且2≤n≤8，则n＝________.
解析 n展开式中的通项为
Tr＋1＝Cxn－rr
＝Cxn－4r(r＝0,1,2，…，8)，
将n＝2,3,4,5,6,7,8逐个检验可知
n＝5.
答案 n＝5
12．若(cosφ＋x)5的展开式中x3的系数为2，则sin＝________.
解析 由二项式定理得，x3的系数为Ccos2φ＝2，
∴cos2φ＝，故sin＝cos2φ＝2cos2φ－1＝－.
答案 －
三、解答题
13．若n的展开式中各项系数和为1 024，试确定展开式中含x的整数次幂的项．
解析 令x＝1，则22n＝1 024，∴n＝5.
Tr＋1＝C(3x)5－rr＝C·35－r·，含x的整数次幂即使为整数，
r＝0、r＝2、r＝4，有3项，
即 T1＝243x5，T3＝270x2，
T5＝15x－1.
14．在杨辉三角形中，每一行除首末两个数之外，其余每个数都等于它肩上的两数之和．
(1)试用组合数表示这个一般规律：
(2)在数表中试求第n行(含第n行)之前所有数之和；
(3)试探究在杨辉三角形的某一行能否出现三个连续的数，使它们的比是3∶4∶5，并证明你的结论．
第0行 1
第1行 1 1
第2行 1 2 1
第3行 1 3 3 1
第4行 1 4 6 4 1
第5行 1 5 10 10 5 1
第6行 1 6 15 20 15 6 1
… …
解析 (1)C＝C＋C
(2)1＋2＋22＋…＋2n＝2n＋1－1
(3)设C∶C∶C＝3∶4∶5
由＝，得＝
即3n－7r＋3＝0①
由＝，得＝
即4n－9r－5＝0②
解①②联立方程组得
n＝62，r＝27
即C∶C∶C＝3∶4∶5.
15．已知等差数列2,5,8，…与等比数列2,4,8，…，求两数列公共项按原来顺序排列构成新数列{Cn}的通项公式．
解析 等差数列2,5,8，…的通项公式为an＝3n－1，
等比数列2,4,8，…的通项公式为bk ＝2k ，令3n－1＝2k ，n∈N*，k ∈N*，
即n＝＝
＝，
当k ＝2m－1时，m∈N*，
n＝∈N*，
Cn＝b2n－1＝22n－1(n∈N*)．
16．已知f(x)＝.
(1)试证：f(x)在(－∞，＋∞)上为单调递增函数；
(2)若n∈N*，且n≥3，试证：f(n)＞.
证明 (1)任取x1，x2∈(－∞，＋∞)．设x1＜x2，
f(x1)－f(x2)＝－
＝
＝，
由x1＜x2则2x1＜2x2，∴2x1－2x2＜0.因此f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
因此f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增．
(2)当n∈N*且n≥3，要证f(n)＞，即＞，只须证2n＞2n＋1，
∵2n＝C＋C＋C＋…＋C＞C＋C＋C＝2n＋1.
∴f(n)＞.
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