12.3 几何概型
一、选择题
1．已知地铁列车每10 min(含在车站停车时间)一班，在车站停1 min，则乘客到达站台立即乘上车的概率是( )
A. B. C. D.
解析 试验的所有结果构成的区域长度为10 min，而构成事件A的区域长度为1 min，
故P(A)＝.
答案 A
2. 设不等式组，表示平面区域为D，在区域D内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是（ ）
A. B. C. D.
答案 D
3．在如图所示的正方形中随机掷一粒豆子，
豆子落在正方形内切圆的上半圆(圆中阴影部分)中的概率是( )．
A. B.
C. D.
解析 设正方形的边长为2，则豆子落在正方形内切圆的上半圆中的概率
为＝.
答案 D
4．如图所示，边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影区域，在正方形中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率为，则阴影区域的面积为( )．
A. B. C. D．无法计算
解析 由几何概型知，＝，故S阴＝×22＝.
答案 B
5．在面积为S的△ABC的边上AB上任取一点P，则△PBC的面积大于的概率是 ( )．
A. B. C. D.
解析 由△ABC，△PBC有公共底边BC，所以只需P位于线段BA靠近B的四分之一分点E与A之间，这是一个几何概型，∴P＝＝.
答案 C
6．ABCD为长方形，AB＝2，BC＝1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为( )．
A. B．1－ C. D．1－
解析 如图，要使图中点到O的距离大于1，
则该点需取在图中阴影部分，故概率为P＝＝1－.
答案 B
7．分别以正方形ABCD的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )．
A. B.
C. D.
解析 设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去圆内接正方形的面积，即为π－2，则阴影区域的面积为2π－4，所以所求概率为P＝＝.
答案 B
二、填空题
8．如图，已知正方形的面积为10，向正方形内随机地撒200颗黄豆，数得落在阴影外的黄豆数为114颗，以此试验数据为依据，可以估计出阴影部分的面积约为______．
解析 根据随机模拟的思想，这个面积是10×＝4.3.
答案 4.3
9．小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于，则去打篮球；否则，在家看书．则小波周末不在家看书的概率为________．
解析 设A＝{小波周末去看电影}，
B＝{小波周末去打篮球}，C＝{小波周末在家看书}，
D＝{小波周末不在家看书}，如图所示，
则P(D)＝1－＝.
答案
10. 在长为12cm的线段AB上任取一点C. 现作一矩形，邻边长分别等于线段AC,CB的长，则该矩形面积大于20cm2的概率为_______．
解析 设线段AC的长为cm，则线段CB的长为()cm,那么矩形的面积为cm2，由，解得。又，所以该矩形面积小于32cm2的概率为，故选C.
答案
11．在区间[0,1]上任取两个数a，b，则关于x的方程x2＋2ax＋b2＝0有实数根的概率为________．
解析 由题意得Δ＝4a2－4b2≥0，
∵a，b∈ [0,1]，∴a≥b.∴画出该不
等式组表示的可行域(如图中阴影部分所示)．故所求
概率等于三角形面积与正方形面积之比，即所求概率为.
答案
12．如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________．
解析 如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，则OA落在∠yOT内的概率为＝.
答案
三、解答题
13．如图所示，在单位圆O的某一直径上随机的取一点Q，求过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率．
解析 弦长不超过1，即|OQ|≥，而Q点在直径AB上是随机的，事件A＝{弦长超过1}．
由几何概型的概率公式得P(A)＝＝.
∴弦长不超过1的概率为1－P(A)＝1－.
14．设O为坐标原点，点P的坐标(x－2，x－y)．
(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求|OP|的最大值，并求事件“|OP|取到最大值”的概率；
(2)若利用计算机随机在[0,3]上先后取两个数分别记为x，y，求P点在第一象限的概率．
解析 (1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别如下表：
(x，y)
(1,1)
(1,2)
(1,3)
(2,1)
(2,2)
(2,3)
(3,1)
(3,2)
(3,3)
P(x－2，x－y)
(－1,0)
(－1，－1)
(－1，－2)
(0,1)
(0,0)
(0，－1)
(1,2)
(1,1)
(1,0)
1
1
0
1
1
其中基本事件是总数为9，随机事件A“|OP|取最大值”包含2个基本事件，故所求的概率为P(A)＝.
(2)设事件B为“P点在第一象限”．
若
则其所表示的区域面积为3×3＝9.
由题意可得事件B满足
即如图所示的阴影部分，
其区域面积为1×3－×1×1＝.
∴P(B)＝＝.
15．已知|x|≤2，|y|≤2，点P的坐标为(x，y)，求当x，y∈R时，P满足
(x－2)2＋(y－2)2≤4的概率．
思路分析 由题意画出图象可求面积之比．
解析 如图，点P所在的区域为正方形ABCD的内
部(含边界)，满足(x－2)2＋(y－2)2≤4的点的区域
为以(2,2)为圆心，2为半径的圆面(含边界)．
∴所求的概率P1＝＝.
【点评】 解决几何概型的概率问题一般利用图形辅助解题，分析题目，找到区域，对照定义可求得结果，较好地体现了数形结合思想的重要性.
16．已知集合A＝{－2,0,2}，B＝{－1,1}，设M＝{(x，y)|x∈A，y∈B}，在集合M内随机取出一个元素(x，y)．
(1)求以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上的概率；
(2)求以(x，y)为坐标的点位于区域D：内(含边界)的概率．
解析 (1)记“以(x，y)为坐标的点落在圆x2＋y2＝1上”
为事件A，则基本事件总数为6.因落在圆x2＋y2＝1上
的点有(0，－1)，(0,1)2个，即A包含的基本事件数为2，所以P(A)＝＝.
(2)记“以(x，y)为坐标的点位于区域内”为事件B，
则基本事件总数为6，由图知位于区域D内(含边界)
的点有：(－2，－1)，(2，－1)，(0，－1)，(0,1)，
共4个，即B包含的基本事件数为4，故P(B)＝＝.
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