12.4 离散型随机变量及其分布列
一、选择题
1．已知随机变量X的分布列如下表：
X
1
2
3
4
5
P
m
则m的值为( )
A. B. C. D.
解析 利用概率之和等于1，得m＝＝.
答案 C
2．抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是( )
A．第一枚6点，第二枚2点
B．第一枚5点，第二枚1点
C．第一枚1点，第二枚6点
D．第一枚6点，第二枚1点
解析 第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5，故选D.
答案 D
3．离散型随机变量X的概率分布规律为P(X＝n)＝(n＝1,2,3,4)，其中a是常数，则P(＜X＜)的值为( )
A. B.
C. D.
解析 由(＋＋＋)×a＝1.
知a＝1 ∴a＝.
故P(＜X＜)＝P(1)＋P(2)＝×＋×＝.
答案 D
4．设某项试验的成功率为失败率的2倍，用随机变量X去描述1次试验的成功次数，则P(X＝0)的值为( )．
A．1 B. C. D.
解析 设X的分布列为：
X
0
1
P
p
2p
即“X＝0”表示试验失败，“X＝1”表示试验成功，设失败的概率为p，成功的概率为2p.由p＋2p＝1，则p＝，因此选C.
答案 C
5．一袋中有5个白球，3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回，直到红球出现10次时停止，设停止时共取了X次球，则P(X＝12)等于
( )．
A．C102 B．C92
C．C92 D．C102
解析 “X＝12”表示第12次取到红球，前11次有9次取到红球，2次取到白球，因此
P(X＝12)＝C92＝C102.
答案 D
6．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数，则P(ξ≤1)等于( )．
A. B. C. D.
解析 P(ξ≤1)＝1－P(ξ＝2)＝1－＝.
答案 D
7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)的值为 ( )．
A. B. C. D.
解析 用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量．当X＝4时，说明取出的3个球有2个旧球，1个新球，∴P(X＝4)＝＝，故选C.
答案 C
二、填空题
8．随机变量X的分布列如下：
X
－1
0
1
P
a
b
c
其中a，b，c成等差数列，则P(|X|＝1)＝______.
解析 ∵a，b，c成等差数列，∴2b＝a＋c.
又a＋b＋c＝1，∴b＝，∴P(|X|＝1)＝a＋c＝.
答案
9.某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至少命中一次的概率为，则该队员每次罚球的命中率为____________．
解析 由得
答案
10．设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝，(i＝1,2,3,4)，则P＝________.
解析 P＝P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝.
答案
11．如图所示，A、B两点5条连线并联，它们
在单位时间内能通过的最大信息量依次为2,3,4,3,2.
现记从中任取三条线且在单位时间内通过的最大信
息总量为ξ，则P(ξ≥8)＝________.
解析 法一 由已知ξ的取值为7,8,9,10，
∵P(ξ＝7)＝＝，
P(ξ＝8)＝＝，
P(ξ＝9)＝＝，
P(ξ＝10)＝＝，
∴ξ的概率分布列为
ξ
7
8
9
10
P
∴P(ξ≥8)＝P(ξ＝8)＋P(ξ＝9)＋P(ξ＝10)
＝＋＋＝.
法二 P(ξ≥8)＝1－P(ξ＝7)＝1－＝.
答案
12．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同，其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取2个球，则取出的红球个数X的取值集合是________．
解析 甲袋中取出的红球个数可能是0,1,2，乙袋中取出的红球个数可能是0,1，故取出的红球个数X的取值集合是{0,1,2,3}．
答案 {0,1,2,3}
三、解答题
13．口袋中有n(n∈N*)个白球，3个红球，依次从口袋中任取一球，如果取到红球，那么继续取球，且取出的红球不放回；如果取到白球，就停止取球．记取球的次数为X.若P(X＝2)＝，求：
(1)n的值；
(2)X的分布列．
解析 (1)由P(X＝2)＝知×＝，
∴90n＝7(n＋2)(n＋3)．
∴n＝7.
(2)X＝1,2,3,4
且P(X＝1)＝，P(X＝2)＝，P(X＝3)＝，
P(X＝4)＝.
∴X的分布列为
X
1
2
3
4
P
14.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个．从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X表示取出的3个小球上的最大数字，求：
(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
(2)随机变量X的分布列；
(3)计分介于20分到40分之间的概率．
解析 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A，则P(A)＝＝.
(2)由题意知，X有可能的取值为2,3,4,5，取相应值的概率分别为．
P(X＝2)＝＝；
P(X＝3)＝＝；
P(X＝4)＝＝；
P(X＝5)＝＝.
所以随机变量X的分布列为：
X
2
3
4
5
P
(3)“一次取球所得计分介于20分到40分之间”的事件记为C，则P(C)＝P(X＝3或X＝4)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝＋＝.
15．在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从此10张奖券中任抽2张，求：
(1)该顾客中奖的概率；
(2)该顾客获得的奖品总价值X元的概率分布列．
解析 (1)该顾客中奖，说明是从有奖的4张奖券中抽到了1张或2张，由于是等可能地抽取，所以该顾客中奖的概率
P＝＝＝.
(2)依题意可知，X的所有可能取值为0,10,20,50,60(元)，且
P(X＝0)＝＝，P(X＝10)＝＝，
P(X＝20)＝＝，P(X＝50)＝＝，
P(X＝60)＝＝.
所以X的分布列为：
X
0
10
20
50
60
P
【点评】 概率、随机变量及其分布列与实际问题的结合题型在新课标高考中经常出现，其解题的一般步骤为：,第一步：理解以实际问题为背景的概率问题的题意，确定离散型随机变量的所有可能值；,第二步：利用排列、组合知识或互斥事件，独立事件的概率公式求出随机变量取每个可能值的概率；,第三步：画出随机变量的分布列；,第四步：明确规范表述结论；
16.某地最近出台一项机动车驾照考试规定：每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，便可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止．如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为0.6,0.7,0.8,0.9.求在一年内李明参加驾照考试次数X的分布列，并求李明在一年内领到驾照的概率．
解析 X的取值分别为1,2,3,4.
X＝1，表明李明第一次参加驾照考试就通过了，
故P(X＝1)＝0.6.
X＝2，表明李明在第一次考试未通过，第二次通过了，
故P(X＝2)＝(1－0.6)×0.7＝0.28.
X＝3，表明李明在第一、二次考试未通过，第三次通过了，
故P(X＝3)＝(1－0.6)×(1－0.7)×0.8＝0.096.
X＝4，表明李明第一、二、三次考试都未通过，
故P(X＝4)＝(1－0.6)×(1－0.7)×(1－0.8)＝0.024.
∴李明实际参加考试次数X的分布列为
X
1
2
3
4
P
0.6
0.28
0.096
0.024
李明在一年内领到驾照的概率为
1－(1－0.6)(1－0.7)(1－0.8)(1－0.9)＝0.997 6.
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