13.3 直接证明与间接证明
一、选择题
1.“所有9的倍数都是3的倍数，某奇数是9的倍数，故该奇数是3的倍数.”上述推理( )
A 小前提错 B 结论错
C 正确 D 大前提错
解析 大前提，小前提都正确，推理正确，故选C.
答案 C
2．在用反证法证明命题“已知a、b、c∈(0,2)，求证a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)不可能都大于1”时，反证时假设正确的是( )
A．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都小于1
B．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都大于1
C．假设a(2－b)、b(2－c)、c(2－a)都不大于1
D．以上都不对
解析 “不可能都大于1”的否定是“都大于1”，故选B.
答案 B
3．下列命题中的假命题是( )．
A．三角形中至少有一个内角不小于60°
B．四面体的三组对棱都是异面直线
C．闭区间[a，b]上的单调函数f(x)至多有一个零点
D．设a，b∈Z，若a＋b是奇数，则a，b中至少有一个为奇数
解析 a＋b为奇数?a，b中有一个为奇数，另一个为偶数，故D错误．
答案 D
4．命题“如果数列{an}的前n项和Sn＝2n2－3n，那么数列{an}一定是等差数列”是否成立( )．
A．不成立 B．成立 C．不能断定 D．能断定
解析 ∵Sn＝2n2－3n，
∴Sn－1＝2(n－1)2－3(n－1)(n≥2)，
∴an＝Sn－Sn－1＝4n－5(n＝1时，a1＝S1＝－1符合上式)．
又∵an＋1－an＝4(n≥1)，
∴{an}是等差数列．
答案 B
5．设a、b、c均为正实数，则三个数a＋、b＋、c＋( )．
A．都大于2 B．都小于2
C．至少有一个不大于2 D．至少有一个不小于2
解析 ∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋＋＝＋＋
≥6，
当且仅当a＝b＝c＝1时，“＝”成立，故三者不能都小于2，即至少有一个不小于2.
答案 D
6．设a＝lg 2＋lg 5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为( )
A．a＞b B．a＜b
C．a＝b D．a≤b
解析 ∵a＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1，
而b＝ex＜e0＝1，故a＞b.
答案 A
7．定义一种运算“*”：对于自然数n满足以下运算性质：(n＋1)*1＝n*1＋1，则n*1＝ ( )．
A．n B．n＋1 C．n－1 D．n2
解析 由(n＋1)*1＝n*1＋1，得n*1＝(n－1)*1＋1＝(n－2)*1＋2＝…＝n.
答案 A
二、填空题
8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为 .
解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b中至少有一个能被3整除”的否定是“a，b都不能被3整除”.
答案 a、b都不能被3整除
9．要证明“＋＜2”可选择的方法有以下几种，其中最合理的是________(填序号)．
①反证法，②分析法，③综合法．
答案 ②
10．设a，b是两个实数，给出下列条件：
①a＋b>1；②a＋b＝2；③a＋b>2；④a2＋b2>2；⑤ab>1.
其中能推出：“a，b中至少有一个大于1”的条件是______．(填序号)
解析 若a＝，b＝，则a＋b>1，
但a<1，b<1，故①推不出；
若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；
若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2>2，故④推不出；
若a＝－2，b＝－3，则ab>1，故⑤推不出；
对于③，即a＋b>2，则a，b中至少有一个大于1，
反证法：假设a≤1且b≤1，
则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，
因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.
答案 ③
11．如果a＋b＞a＋b，则a、b应满足的条件是________．
解析 首先a≥0，b≥0且a与b不同为0.
要使a＋b＞a＋b，只需(a＋b)2＞(a＋b)2，
即a3＋b3＞a2b＋ab2，只需(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，只需a2－ab＋b2＞ab，
即(a－b)2＞0，只需a≠b.故a，b应满足a≥0，b≥0且a≠b.
答案 a≥0，b≥0且a≠b
12．若a，b，c是不全相等的正数，给出下列判断：
①(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2≠0；
②a>b与a
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