13.5 复 数
一、选择题
1．复数的共轭复数是( )．
A．－i B.i C．－i D．i
解析 ＝＝i，∴的共轭复数为－i.
答案 C
2．复数＝( )．
A．i B．－i
C．－－i D．－＋i
解析 因为＝＝＝i，故选择A.
答案 A
3.在复平面内，设z＝1＋i(i是虚数单位)，则复数＋z2对应的点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析 由题知，＋z2＝＋(1＋i)2＝1－i＋2i＝1＋i，
所以复数＋z2对应的点为(1,1)，其位于第一象限．
答案 A
4． i是虚数单位，若＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b的值是( )
A．0 B. C．1 D．2
解析 ∵＝＝－i，∴a＝，b＝－，∴a＋b＝－＝1.
答案 C
5．把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位．若z＝1＋i，则(1＋z)·＝( )．
A．3－i B．3＋i
C．1＋3i D．3
解析 (1＋z)·＝(2＋i)(1－i)＝3－i.
答案 A
6.复数( )
A． B． C． D．
解析 ，选C.
答案 C
7．设z是复数，f(z)＝zn(n∈N*)，对于虚数单位i，则f(1＋i)取得最小正整数时，对应n的值是( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 f(1＋i)＝(1＋i)n，则当f(1＋i)取得最小正整数时，n为8.
答案 D
二、填空题
8．设复数z满足i(z＋1)＝－3＋2i，则z的实部是________．
解析 由i(z＋1)＝－3＋2i，得z＋1＝＝2＋3i，即z＝1＋3i.
答案 1
9．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数， 则复数1＋ai的模是________．
解析 因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0，a2＝1，复数1＋ai的模为＝.
答案
10．如果复数(m2＋i)(1＋mi)(其中i是虚数单位)是实数，则实数m＝________.
解析 (m2＋i)(1＋mi)＝(m2－m)＋(1＋m3)i.于是有1＋m3＝0?m＝－1.
答案 －1
11.若复数z满足为虚数单位)，则为______.
解析 .故选A.
答案 3+5i
12．定义运算＝ad－bc.若复数x＝，y＝，则y＝________.
解析 因为x＝＝＝－i.
所以y＝＝＝－2.
答案 －2
三、解答题
13．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i；当实数m取什么值时，复数z是：
(1)零；(2)纯虚数．
解析 (1)由得m＝1，即当m＝1时，z＝0.
(2)由得m＝0.即当m＝0时，z是纯虚数．
14．如图所示，平行四边形OABC，顶点O，A，C分别表示：0,3＋2i，－2＋4i，试求：
(1)、所表示的复数；
(2)对角线所表示的复数；
(3)求B点对应的复数．
解析 (1)＝－，∴所表示的复数为－3－2i.
∵＝，∴所表示的复数为－3－2i.
(2)＝－，∴所表示的复数为
(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)＝＋＝＋，
∴表示的复数为(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，
即B点对应的复数为1＋6i.
15．已知复数z满足条件|z|＝2，求复数1＋i＋z的模的最大值、最小值．
解析 由已知，复数z对应的点Z在复平面上的轨迹是以原点O为圆心、2为半径的圆．
设ω＝1＋i＋z＝z－(－1－i)，
则|ω|表示动点Z到点C(－1，－)的距离，
∵||＝2，根据圆的几何性质知，
动点Z到点C(－1，－)的距离最大值为2＋r＝2＋2＝4，最小值为2－r＝0，
∴复数1＋i＋z的模的最大值为4，最小值为0.
16．已知z是复数，z＋2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(z＋ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
解析 设z＝x＋yi(x、y∈R)，
∴z＋2i＝x＋(y＋2)i，由题意得y＝－2.
＝＝(x－2i)(2＋i)
＝(2x＋2)＋(x－4)i.
由题意得x＝4，∴z＝4－2i.
∵(z＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i，
根据条件，可知解得2＜a＜6，
∴实数a的取值范围是(2,6)．
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