2.2 函数的单调性与最值
一、选择题
1．函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)＞2，则f(x)＞2x＋4的解集为( )．
A．(－1,1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)
解析 法一 由x∈R，f(－1)＝2，f′(x)＞2，可设f(x)＝4x＋6，则由4x＋6＞2x＋4，得x＞－1，选B.
法二 设g(x)＝f(x)－2x－4，则g(－1)＝f(－1)－2×(－1)－4＝0，g′(x)＝f′(x)－2＞0，g(x)在R上为增函数．
由g(x)＞0，即g(x)＞g(－1)．
∴x＞－1，选B.
答案 B
2．给定函数①y＝x，②y＝log(x＋1)，③y＝|x－1|，④y＝2x＋1，其中在区间(0,1)上单调递减的函数的序号是( )
A．①② B．②③
C．③④ D．①④
解析： ①y＝x为增函数，排除A、D；④y＝2x＋1为增函数，排除C，故选B.
答案：B
3．已知偶函数f(x)在区间[0，＋∞)单调增加，则满足f(2x－1)＜f的x的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析 f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，又f(x)在[0，＋∞)上递增，∴f(2x－1)＜f?|2x－1|＜?＜x＜.故选A.
答案 A
4．函数f(x)＝(a>0且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是( )
A．(0,1) B．[，1)
C．(0，] D．(0，]
解析：据单调性定义，f(x)为减函数应满足：
即≤a<1.
答案：B
5．函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是( )
A．(－∞，] B．[，＋∞)
C．(－1，] D．[，4)
解析： 由4＋3x－x2>0得，函数f(x)的定义域是(－1，4)，u(x)＝－x2＋3x＋4＝－(x－)2＋的减区间为[，4)，∵e>1，∴函数f(x)的单调减区间为[，4)．
答案： D
[点评] 可用筛选法求解，显然x＝±100时，f(x)无意义，排除A、B；f(0)＝ln4，f(1)＝ln6，f(0)f>f，
∴f>f>f.
答案：B
二、填空题
8．函数y＝ln 的单调递增区间是________．
解析 本题考查复合函数单调区间的确定；据题意需满足>0即函数定义域为(－1,1)，原函数的递增区间即为函数u(x)＝在(－1,1)上的递增区间，由于u′(x)＝()′＝>0.故函数u(x)＝的递增区间(－1,1)即为原函数的递增区间．
答案 (－1,1)
9．如果函数f(x)＝ax2＋2x－3在区间(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
解析：(1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调递增，故在(－∞，4)上单调递增；
(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－，因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－≥4，解得－≤a<0.
答案：[－，0]
10．已知函数f(x)＝则满足不等式f(1－x2)>f(2x)的x的范围是________．
解析 f(x)＝的图象如图所示，
不等式f(1－x2)>f(2x)等价于
或
解得－10且f(x)在(1，＋∞)内单调递减，求a的取值范围．
解：(1)证明：任设x10，x1－x2<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)0，x2－x1>0，
∴要使f(x1)－f(x2)>0，只需(x1－a)(x2－a)>0恒成立，∴a≤1.综上所述，a的取值范围是(0,1]．
14．已知函数f(x)＝a·2x＋b·3x，其中常数a，b满足ab≠0.
(1)若ab＞0，判断函数f(x)的单调性；
(2)若ab＜0，求f(x＋1)＞f(x)时的x的取值范围．
解 (1)当a＞0，b＞0时，因为a·2x，b·3x都单调递增，所
以函数f(x)单调递增；
当a＜0，b＜0时，因为a·2x，b·3x都单调递减，
所以函数f(x)单调递减．
(2)f(x＋1)－f(x)＝a·2x＋2b·3x＞0.
(i)当a＜0，b＞0时，x＞－，
解得x＞log；
(ii)当a＞0，b＜0时，x＜－，
解得x＜log.
15．函数f(x)对任意的a、b∈R，都有f(a＋b)＝f(a)＋f(b)－1，并且当x>0时，f(x)>1.
(1)求证：f(x)是R上的增函数；
(2)若f(4)＝5，解不等式f(3m2－m－2)<3.
(1)证明 设x1，x2∈R，且x10，∴f(x2－x1)>1.
f(x2)－f(x1)＝f[(x2－x1)＋x1]－f(x1)
＝f(x2－x1)＋f(x1)－1－f(x1)＝f(x2－x1)－1>0.
∴f(x2)>f(x1)．即f(x)是R上的增函数．
(2)解 ∵f(4)＝f(2＋2)＝f(2)＋f(2)－1＝5，
∴f(2)＝3，
∴原不等式可化为f(3m2－m－2)0，a>0，且f(x)为偶函数，证明F(m)＋F(n)>0.
[解析] (1)因为f(x)＝ax2＋bx＋c，所以f ′(x)＝2ax＋b.
又曲线y＝f(x)在点(－1，f(－1))处的切线垂直于y轴，故f ′(－1)＝0，
即－2a＋b＝0，因此b＝2a.①
因为f(－1)＝0，所以b＝a＋c.②
又因为曲线y＝f(x)通过点(0,2a＋3)，
所以c＝2a＋3.③
解由①，②，③组成的方程组得，a＝－3，b＝－6，c＝－3.
从而f(x)＝－3x2－6x－3.
所以F(x)＝.
(2)由(1)知f(x)＝－3x2－6x－3，
所以g(x)＝kx－f(x)＝3x2＋(k＋6)x＋3.
由g(x)在[－1,1]上是单调函数知：
－≤－1或－≥1，
得k≤－12或k≥0.
(3)因为f(x)是偶函数，可知b＝0.
因此f(x)＝ax2＋c.
又因为mn<0，m＋n>0，可知m，n异号．
若m>0，则n<0.
则F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝am2＋c－an2－c
＝a(m＋n)(m－n)>0.
若m<0，则n>0.
同理可得F(m)＋F(n)>0.
综上可知F(m)＋F(n)>0.
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