2.7 函数的图象
一、选择题
1．当a≠0时，y＝ax＋b与y＝(ba)x的图象大致是( )．
解析 (筛选法)A中，a＞0，b＝1，ba＝1，很容易排除；B中，a＞0，b＞1，故ba＞1，函数y＝(ba)x单调递增，也可排除；C、D中，a＜0，0＜b＜1，故ba＞1，排除D.故选C.
答案 C
【点评】 本题采用了筛选法.解决此类问题时一般结合两种函数给定特殊值域特殊位置，确定它们图象与函数式是否吻合.
2．已知函数y＝f(x)的周期为2，当x∈[－1,1]时f(x)＝x2，那么函数y＝f(x)的图象与函数y＝|lg x|的图象的交点共有( )．
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
解析 (数形结合法)画出两个函数图象可看出交点有10个．
答案 A
【点评】 本题采用了数形结合法.数形结合，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支持作用，实现抽象概念与具体形象的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.
3．y＝x＋cos x的大致图象是( )
解析 当x＝0时，y＝1；当x＝时，y＝；当x＝－时，y＝－，观察各选项可知B正确．
答案 B
4.函数的图象大致为（ ）
答案 D
5．函数y＝的图象与函数y＝2sin πx(－2≤x≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )．
A．2 B．4 C．6 D．8
解析 此题考查函数的图象、两个函数图象的交点及函数的对称性问题．两个函数都是中心对称图形．
如上图，两个函数图象都关于点(1,0)成中心对称，两个图象在[－2,4]上共8个公共点，每两个对应交点横坐标之和为2，故所有交点的横坐标之和为8.
答案 D
6.函数的图象（ ）
A． 关于原点对称 B. 关于主线对称
C. 关于轴对称 D. 关于直线对称
解析 设，则=，所以函数是
奇函数，其图象关于原点对称，故选A.
答案 A
7．函数y＝f(x)与函数y＝g(x)的图象如图
则函数y＝f(x)·g(x)的图象可能是( )．
解析 从f(x)、g(x)的图象可知它们分别为偶函数、奇函数，故f(x)·g(x)是奇函数，排除B项．又g(x)在x＝0处无意义，故f(x)·g(x)在x＝0处无意义，排除C、D两项．
答案 A
二、填空题
8．已知定义在区间[0,1]上的函数y＝f(x)的图象如图所示，对于满足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，给出下列结论：
①f(x2)－f(x1)＞x2－x1；
②x2f(x1)＞x1f(x2)；
③＜f.
其中正确结论的序号是________(把所有正确结论的序号都填上)．
解析 由f(x2)－f(x1)＞x2－x1，可得＞1，即两点(x1，f(x1))与(x2，f(x2))连线的斜率大于1，显然①不正确，由x2f(x1)＞x1f(x2)得＞，即表示两点(x1，f(x1))、(x2，f(x2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．
答案 ②③
9．已知函数y＝f(x)和y＝g(x)在[－2,2]的图象如下图所示：
则方程f[g(x)]＝0有且仅有________个根，方程f[f(x)]＝0有且仅有________个根．
解析：由图可知f(x)＝0有三个根，设为x1，x2，x3，－20时，方程f(x)＝0只有一个实数根；
②c＝0时，y＝f(x)是奇函数；
③方程f(x)＝0至多有两个实根．
上述三个命题中所有正确命题的序号为________．
解析 ①f(x)＝x|x|＋c＝，
如图①，曲线与x轴只有一个交点，所以方程f(x)＝0只有一个实数根，正确．
②c＝0时，f(x)＝x|x|＋bx，显然是奇函数．
③当c＝0，b<0时，
f(x)＝x|x|＋bx＝.
如图②，方程f(x)＝0可以有三个实数根．
综上所述，正确命题的序号为①②.
答案 ①②
三、解答题
13.若方程2a＝|ax－1|(a>0，a≠1)有两个实数解，求实数a的取值范围．
解：当a>1时，函数y＝|ax－1|的图象如图①所示，显然直线y＝2a与该图象只有一个交点，故a>1不合适；
当01时，如图，要使在(1,2)上，f1(x)＝(x－1)2的图象在f2(x)＝logax的下方，
只需f1(2)≤f2(2)，
即(2－1)2≤loga2，loga2≥1，
∴1＜a≤2.
∴a的取值范围是(1,2]
16．讨论方程|1－x|＝kx的实数根的个数．
思路分析 分别作出函数y＝|1－x|与y＝kx的图象，结合图象讨论其交点个数．
解析 设y＝|1－x|，y＝kx，则方程的实根的个数就是函数y＝|1－x|的图象与y＝kx的图象交点的个数．
由上边图象可知：
当－1≤k＜0时，方程没有实数根；
当k＝0或k＜－1或k≥1时，方程只有一个实数根；
当0＜k＜1时，方程有两个不相等的实数根．
【点评】 数形结合思想是高考必考内容，它对于解答选择、填空题即形象、又快捷，对于解答题，图象有利于分析、解决问题，但适当的解题步骤还是必须的.
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