2.9 函数的应用
一、选择题
1．如图所示，液体从一圆锥形漏斗漏入一圆柱形桶中，开始时，漏斗盛满液体，经过3分钟漏完．已知圆柱中液面上升的速度是一个常量，H是圆锥形漏斗中液面下落的高度，则H与下落时间t(分)的函数关系表示的图象只可能是( )
解析：由于所给的圆锥形漏斗上口大于下口，当时间取t时，漏斗中液面下落的高度不会达到漏斗高度的，对比四个选项的图象可知选B.
答案：B
2．某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )．
A．10元 B．20元 C．30元 D.元
解析 设A种方式对应的函数解析式为S＝k1t＋20，
B种方式对应的函数解析式为S＝k2t，
当t＝100时，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝，t＝150时，150k2－150k1－20＝150×－20＝10.
答案 A
3．如图为某质点在4秒钟内做直线运动时，速度函数v＝v(t)的图象，则该质点运动的总路程s＝( )．
A．10 cm B．11 cm
C．12 cm D．13 cm
解析 ∵该质点运动的总路程为右图阴影部分的面积，∴s＝×(1＋3)×2＋2×3＋×1×2＝11(cm)．
答案 B
4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝x2＋2x＋20(万元)．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( )
A．36万件 B．18万件
C．22万件 D．9万件
解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－(x－18)2＋142，当x＝18时，L(x)有最大值．
答案：B
5．某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为( )
A．10% B．12%
C．25% D．40%
解析：利润300万元，纳税300·p%万元，
年广告费超出年销售收入2%的部分为
200－1000×2%＝180(万元)，
纳税180·p%万元，
共纳税300·p%＋180·p%＝120(万元)，
p%＝＝25%.
答案：C
答案 D
6. 放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变．假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M(单位：太贝克)与时间t(单位：年)满足函数关系：M(t)＝M02－，其中M0为t＝0时铯137的含量．已知t＝30时，铯137含量的变化率是－10ln 2(太贝克/年)，则M(60)＝( )．
A．5太贝克 B．75ln 2太贝克
C．150ln 2太贝克 D．150太贝克
解析 由题意M′(t)＝M02－ln 2，
M′(30)＝M02－1×ln 2＝－10ln 2，
∴M0＝600，∴M(60)＝600×2－2＝150.
答案 D
7．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x、y应为( )．
A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15
C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14
解析 由三角形相似得＝，
得x＝(24－y)，
∴S＝xy＝－(y－12)2＋180，
∴当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.
答案 A
二、填空题
8．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f(x)＝1.06×(0.50×[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数，若通话费为10.6元，则通话时间m∈________.
解析：∵10.6＝1.06(0.50×[m]＋1)，
∴0.5[m]＝9，∴[m]＝18，∴m∈(17,18]．
答案：(17,18]
9．现有含盐7%的食盐水为200 g，需将它制成工业生产上需要的含盐5 %以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g，则x的取值范围是__________．
解析 根据已知条件：设y＝，令5%＜y＜6%，
即(200＋x)5%＜200×7%＋x·4%＜(200＋x)6%，解得100＜x＜400.
答案 (100,400)
10． 2008年我国人口总数为14亿，如果人口的自然年增长率控制在1.25%，则________年我国人口将超过20亿．(lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1，lg 7≈0.845 1)
解析 由已知条件：14(1＋1.25%)x－2008>20，
x－2 008>＝＝28.7
则x>2 036.7，即x＝2 037.
答案 2 037
11．为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：
明文密文密文明文
已知加密为y＝ax－2(x为明文、y为密文)，如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”，再发送，接收方通过解密得到明文“3”，若接收方接到密文为“14”，则原发的明文是________．
解析：依题意y＝ax－2中，当x＝3时，y＝6，故6＝a3－2，
解得a＝2.所以加密为y＝2x－2，
因此，当y＝14时，由14＝2x－2，解得x＝4.
答案：4
12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．现某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了________ km.
解析 由已知条件
y＝
由y＝22.6解得x＝9.
答案 9
三、解答题
13. 2009年，浙江吉利与褔特就收购福特旗下的沃尔沃达成初步协议，吉利计划投资20亿美元来发展该品牌．据专家预测，从2009年起，沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆(2009年销售量为20000辆)，销售利润每辆每年比上一年减少10%(2009年销售利润为2万美元/辆)．
(1)第n年的销售利润为多少？
(2)求到2013年年底，浙江吉利能否实现盈利(即销售利润超过总投资，0.95≈0.59)．
解析 (1)∵沃尔沃汽车的销售量每年比上一年增加10000辆，
∴沃尔沃汽车的销售量构成了首项为20000，公差为10000的等差数列{an}．
∴an＝10000＋10000n.
∵沃尔沃汽车的销售利润按照每辆每年比上一年减少10%，因此每辆汽车的销售利润构成了首项为2，公比为1－10%的等比数列{bn}．∴bn＝2×0.9n－1.
第n年的销售利润记为cn，
则cn＝an·bn＝(10000＋10000n)×2×0.9n－1.
(2)设到2013年年底，浙江吉利盈利为S，则
S＝20000×2＋30000×2×0.9＋40000×2×0.92＋50000×2×0.93＋60000×2×0.94 ①
0．9S＝20000×2×0.9＋30000×2×0.92＋40000×2×0.93＋50000×2×0.94＋60000×2×0.95 ②
①－②得，0.1S＝20000×2＋20000×(0.9＋0.92＋0.93＋0.94)－60000×2×0.95，
解得S＝10×(220000－320000×0.95)≈31.2×104>(20＋1.5)×104.
所以到2013年年底，浙江吉利能实现盈利．
14．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝－48x＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨．
(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；
(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
解析： (1)每吨平均成本为(万元)．
则＝＋－48≥2 －48＝32，
当且仅当＝，即x＝200时取等号．
∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元．
(2)设年获得总利润为R(x)万元，
则R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000
＝－＋88x－8 000＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)．
∵R(x)在[0,210]上是增函数，
∴x＝210时，R(x)有最大值为
－(210－220)2＋1 680＝1 660.
∴年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元．
15．如图，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动，速度为v(v＞0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R)．E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|v－c|×S成正比，比例系数为；②其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量．当移动距离d＝100，面积
S＝时，
(1)写出y的表达式；
(2)设0＜v≤10,0＜c≤5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少．
解析 (1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为
|v－c|＋，
故y＝＝(3|v－c|＋10)．
(2)由(1)知，
当0＜v≤c时，y＝(3c－3v＋10)＝－15；
当c＜v≤10时，y＝(3v－3c＋10)＝＋15.
故y＝
①当0＜c≤时，y是关于v的减函数，
故当v＝10时，ymin＝20－.
②当＜c≤5时，在(0，c]上，y是关于v的减函数；在(c,10]上，y是关于v的增函数．故当v＝c时，ymin＝.
16．某学校要建造一个面积为10 000平方米的运动场．如图，运动场是由一个矩形ABCD和分别以AD、BC为直径的两个半圆组成．跑道是一条宽8米的塑胶跑道，运动场除跑道外，其他地方均铺设草皮．已知塑胶跑道每平方米造价为150元，草皮每平方米造价为30元．
(1)设半圆的半径OA＝r(米)，设建立塑胶跑道面积S与r的函数关系S(r)；
(2)由于条件限制r∈[30,40]，问当r取何值时，运动场造价最低？最低造价为多少？(精确到元)
解析 (1)塑胶跑道面积
S＝π[r2－(r－8)2]＋8××2
＝＋8πr－64π.
∵πr2＜10 000，∴0＜r＜.
(2)设运动场的造价为y元，
y＝150×
＋30×
＝300 000＋120×－7 680π.
令f(r)＝＋8πr，
∵f′(r)＝8π－，
当r∈[30,40]时，f′(r)＜0，
∴函数y＝300 000＋120×－7 680π
在[30,40]上为减函数．
∴当r＝40时，ymin≈636 510，
即运动场的造价最低为636 510元．
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