4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
一、选择题
1．sin 2cos 3tan 4的值( )．
A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在
解析 ∵sin 2＞0，cos 3＜0，tan 4＞0，
∴sin 2cos 3tan 4＜0.
答案 A
2．已知点P(sin，cos)落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ是第________象限角．( )
A．一 B．二
C．三 D．四
解析：因P点坐标为(－，－)，∴P在第三象限．
答案：C
3．已知扇形的周长是6 cm，面积是2 cm2，则扇形的中心角的弧度数是( )
A．1 B．4
C．1或4 D．2或4
解析 设此扇形的半径为r，弧长是l，则
解得或
从而α＝＝＝4或α＝＝＝1.
答案 C
4．若cos α＝－，且角α的终边经过点(x,2)，则P点的横坐标x是( )．
A．2 B．±2 C．－2 D．－2
解析 由cos α＝＝－，解得，x＝－2.
答案 D
5.已知角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线上,则( )
A. B. C. D.
解析 设是角终边上任意一点,则由三角函数定义知:,所以,故选B.
答案 B
6．已知角α的终边过点P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，则m的值为
( )．
A．－ B. C．－ D.
解析 ∵r＝，∴cos α＝＝－，
∴m＞0，∴＝，∴m＝±.∵m＞0，∴m＝.
答案 B
7．点P从(1,0)出发，沿单位圆x2＋y2＝1逆时针方向运动弧长到达Q点，则Q点的坐标为( )．
A. B.
C. D.
解析 设α＝∠POQ，由三角函数定义可知，Q点的坐标(x，y)满足x＝cos α，
y＝sin α，∴x＝－，y＝，∴Q点的坐标为.
答案 A
二、填空题
8．若β的终边所在直线经过点P，则sin β＝________，
tan β＝________.
解析：因为β的终边所在直线经过点P，所以β的终边所在直线为y＝－x，则β在第二或第四象限．
所以sin β＝或－，tan β＝－1.
答案：或－ －1
9．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第______象限．
解析 ∵点P(tan α，cos α)在第三象限，∴tan α＜0，cos α＜0.
∴角α在第二象限．
答案 二
10.弧长为,圆心角为的扇形的半径为 ,面积为 .
解析 由扇形面积公式得：.
答案 4；
11．若三角形的两个内角α，β满足sin αcos β＜0，则此三角形为________．
解析 ∵sin αcos β＜0，且α，β是三角形的两个内角．
∴sin α＞0，cos β＜0，
∴β为钝角．故三角形为钝角三角形．
答案 钝角三角形
12．函数y＝＋ 的定义域是________．
解析 由题意知即
∴x的取值范围为＋2kπ≤x≤π＋2kπ，k∈Z.
答案 (k∈Z)
三、解答题
13． (1)确定的符号；
(2)已知α∈(0，π)，且sinα＋cosα＝m(00，tan5<0，cos8<0，
∴原式大于0.
(2)若0<α<，则如图所示，在单位圆中，OM＝cosα，MP＝sinα，
∴sinα＋cosα＝MP＋OM>OP＝1.
若α＝，则sinα＋cosα＝1.
由已知00.
14．已知角θ的终边上有一点P(x，－1)(x≠0)，且tan θ＝－x，求sin θ，cos θ.
解析：∵θ的终边过点(x，－1)(x≠0)，∴tan θ＝－，
又tan θ＝－x，∴x2＝1，∴x＝±1.
当x＝1时，sin θ＝－，cos θ＝；
当x＝－1时，sin θ＝－，cos θ＝－.
15．如图所示，A，B是单位圆O上的点，且B在第二象限，C是圆与x轴正半轴的交点，A点的坐标为，△AOB为正三角形．
(1)求sin∠COA；
(2)求cos ∠COB.
解析 (1)根据三角函数定义可知sin∠COA＝.
(2)∵△AOB为正三角形，∴∠AOB＝60°，
又sin∠COA＝，cos∠COA＝，
∴cos∠COB＝cos(∠COA＋60°)
＝cos∠COAcos 60°－sin∠COAsin 60°
＝·－·＝.
16．角α终边上的点P与A(a,2a)关于x轴对称(a＞0)，角β终边上的点Q与A关于直线y＝x对称，求sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β的值．
解析 由题意得，点P的坐标为(a，－2a)，
点Q的坐标为(2a，a)．
所以，sin α＝＝－，
cos α＝＝，
tan α＝＝－2，
sin β＝＝，
cos β＝＝，
tan β＝＝，
故有sin α·cos α＋sin β·cos β＋tan α·tan β
＝×＋×＋(－2)×＝－1.
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