4.7 解三角形应用举例
一、选择题
1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为( )
A. B.
C. D.
解析：因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos ∠BAC
＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.
∴BC＝.
答案：D
2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是( )．
A．α，a，b B．α，β，a
C．a，b，γ D．α，β，b
解析 选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.
答案 A
3．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 km，那么x的值为( )．
A. B．2 C.或2 D．3
解析 如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝，∠ABC＝30°，由余弦定理得()2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－3x＋6＝0，解得x＝或2.
答案 C
4．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为( )
A．50 m B．50 m
C．25 m D. m
解析 由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝50(m)．
答案 A
5．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为( )
A．a km B.a km
C．2a km D.a km
解析 依题意得∠ACB＝120°，由余弦定理，得
cos120°＝.
∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos120°
＝a2＋a2－2a2×＝3a2，
∴AB＝a，故选D.
答案 D
6．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是( )．
A.米 B．10米 C.米 D．20米
解析 如图所示，设树干底部为O，树尖着地处为B，折断点为A，则∠ABO＝45°，∠AOB＝75°，∴∠OAB＝60°.由正弦定理知，＝，
∴AO＝(米)．
答案 A
7．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km，速度为1 000 km/h，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拔高度为(精确到0.1 km)( )．
A．11.4 B．6.6 C．6.5 D．5.6
解析 AB＝1 000×1 000×＝ (m)，
∴BC＝·sin 30°＝ (m)．
∴航线离山顶h＝×sin 75°≈11.4 (km)．
∴山高为18－11.4＝6.6 (km)．
答案 B
二、填空题
8．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A处看到一个灯塔M在北偏东60°方向，行驶4 h后，船到B处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为________ km.
解析：如图所示，依题意有AB＝15×4＝60，
∠MAB＝30°，∠AMB＝45°，在△AMB中，
由正弦定理得＝，
解得BM＝30．
答案：30
9．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．
解析 在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，∠BCD＝15°＋90°＝105°，∠DBC＝30°，＝，BC＝＝10.在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10(米)．
答案 10
10． 2010年11月12日广州亚运会上举行升旗仪式．如图，在坡度为15°的观礼台上，某一列座位所在直线AB与旗杆所在直线MN共面，在该列的第一个座位A和最后一个座位B测得旗杆顶端N的仰角分别为60°和30°，且座位A、B的距离为10米，则旗杆的高度为________米．
解析 由题可知∠BAN＝105°，∠BNA＝30°，
由正弦定理得＝，解得AN＝20(米)，
在Rt△AMN中，MN＝20 sin 60°＝30(米)．故旗杆的高度为30米．
答案 30
11．如图，在日本地震灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，进行10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.
解析 由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴＝.
∴x＝ m.
答案 m
12．如图，一船在海上自西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东α角，前进m海里后在B处测得该岛的方位角为北偏东β角，已知该岛周围n海里范围内(包括边界)有暗礁，现该船继续东行，当α与β满足条件________时，该船没有触礁危险．
解析 由题可知，在△ABM中，根据正弦定理得＝，解得BM＝，要使该船没有触礁危险需满足BMsin(90°－β)＝＞n，所以当α与β的关系满足
mcos αcos β＞nsin(α－β)时，该船没有触礁危险．
答案 mcos αcos β＞nsin(α－β)
三、解答题
13．隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边先选取相距千米的C，D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B，C，D在同一平面内)，求两目标A，B之间的距离．
解析 如图所示，在△ACD中，∵∠ADC＝30°，∠ACD＝120°，
∴∠CAD＝30°，AC＝CD＝(千米)，
在△BDC中，∠CBD＝180°－45°－75°＝60°.
由正弦定理得，BC＝＝(千米)．
在△ABC中，由余弦定理，可得
AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠BCA，
即AB2＝()2＋2－2·cos 75°＝5.
∴AB＝ (千米)．
所以两目标A、B间的距离为千米．
14．如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上，此时到达C处．
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α的值．
解析 (1)依题意知，∠BAC＝120°，AB＝12(海里)，AC＝10×2＝20(海里)，∠BCA＝α，
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC
＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.
解得BC＝28(海里)．
所以渔船甲的速度为＝14海里/时．
(2)在△ABC中，因为AB＝12(海里)，∠BAC＝120°，BC＝28(海里)，∠BCA＝α，由正弦定理，得＝.
即sin α＝＝＝.
15．如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40 n mile处的B岛出发，朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.
(1)若两船能相遇，求m.
(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?
解析 (1)设t小时后，两船在M处相遇，
由tanθ＝，得sinθ＝，cosθ＝，
所以sin∠AMB＝sin(45°－θ)＝.
由正弦定理，＝，∴AM＝40，
同理得BM＝40.
∴t＝＝，m＝＝15.
(2)以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)，Q(x2，y2)处，则|AP|＝15t，|BQ|＝10t.
由任意角三角函数的定义，可得
即点P的坐标是(15t,15t)，
即点Q的坐标是(10t,20t－40)，
∴|PQ|＝＝
＝≥20，
当且仅当t＝4时，|PQ|取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 n mile.
16．某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上．在小艇出发时，轮船位于港口O北偏西30°且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v海里/时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇．
(1)若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
(2)假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案(即确定航行方向和航行速度的大小)，使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由．
思路分析 第(1)问建立航行距离与时间的函数关系式；第(2)问建立速度与时间的函数关系式．
解析 (1)设相遇时小艇航行的距离为S海里，则
S＝
＝＝ .
故当t＝时，Smin＝10(海里)，
此时v＝＝30(海里/时)．
即小艇以30海里/时的速度航行相遇时小艇的航行距离最小．
(2)设小艇与轮船在B处相遇，则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，
故v2＝900－＋，∵0＜v≤30，∴900－＋≤900，即－≤0，
解得t≥.
又t＝时，v＝30海里/时．
故v＝30海里/时时，t取得最小值，且最小值等于.
此时，在△OAB中，有OA＝OB＝AB＝20海里，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东30°，航行速度为30海里/时，小艇能以最短时间与轮船相遇．
【点评】 解决这一类问题一般是根据余弦定理来建立函数关系式，利用函数的有关知识解决问题，充分体现了函数与方程思想的重要性.
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