5.1 平面向量的概念及线性运算
一、选择题
1. 已知两个非零向量a,b满足|a+b|=|ab|,则下面结论正确的是( )
A.a∥b B. a⊥b
C.{0,1,3} D.a+b=ab
答案 B
2.对于非零向量a,b,“a+b=0”是“a∥b”的( ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a+b=0,则a=-b.
∴a∥b;
若a∥b,则a=λb,a+b=0不一定成立.
答案 A
3.设P是△ABC所在平面内的一点,+=2,则( ).
A.+=0 B.+=0
C.+=0 D.++=0
解析 如图,根据向量加法的几何意义,+=2?P是AC的中点,
∴+=0.
答案 B
4.已知向量a=(x,2),b=(3,-1),若(a+b)∥(a-2b),则实数x的值为( )
A.-3 B.2 C.4 D.-6
解析 因为(a+b)∥(a-2b),a+b=(x+3,1),a-2b=(x-6,4),
∴4(x+3)-(x-6)=0,x=-6.
答案 D
5.在四边形ABCD中,=a+2b,=-4a-b,=-5a-3b,则四边形ABCD的形状是( ).
A.矩形 B.平行四边形
C.梯形 D.以上都不对
解析 由已知=++=-8a-2b=2(-4a-b)=2.
∴∥,又与不平行,
∴四边形ABCD是梯形.
答案 C
6.已知△ABC和点M满足++=0,若存在实数m,使得+=m成立,则m=( ).
A.2 B.3 C.4 D.5
解析 ∵++=0,∴点M是△ABC的重心,
∴+=3,∴m=3.
答案 B
7.已知点O为△ABC外接圆的圆心,且++=0,则△ABC的内角A等于( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
解析:由++=0得+=,由O为△ABC外接圆的圆心,结合向量加法的几何意义知四边形OACB为菱形,且∠CAO=60°.
答案:A
二、填空题
8.已知平面上不共线的四点O,A,B,C,若-3+2=0,则=________.
解析:由-3+2=0,得-=2(-),
即=2,于是=2.
答案:2
9.给出下列命题:
①向量的长度与向量的长度相等;
②向量a与b平行,则a与b的方向相同或相反;
③两个有共同起点而且相等的向量,其终点必相同;
④两个有公共终点的向量,一定是共线向量;
⑤向量与向量是共线向量,则点A、B、C、D必在同一条直线上.
其中不正确的个数为________.
解析 ①中,∵向量与为相反向量,
∴它们的长度相等,此命题正确.
②中若a或b为零向量,则满足a与b平行,但a与b的方向不一定相同或相反,∴此命题错误.
③由相等向量的定义知,若两向量为相等向量,且起点相同,则其终点也必定相同,∴该命题正确.
④由共线向量知,若两个向量仅有相同的终点,则不一定共线,∴该命题错误.
⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量,∴若与是共线向量,则A,B,C,D四点不一定在一条直线上,∴该命题错误.
答案 3
10.已知向量夹角为 ,且;则.
解析
答案
11.若M为△ABC内一点,且满足=+,则△ABM与△ABC的面积之比为________.
解析 由题知B、M、C三点共线,设=λ,则:-=λ(-),
∴=(1-λ)+λ,
∴λ=,
∴=.
答案
12.若点O是△ABC所在平面内的一点,且满足|-|=|+-2|,则△ABC的形状为________.
解析 (等价转化法)+-2=-+-=+,
-==-,
∴|+|=|-|.
故A,B,C为矩形的三个顶点,△ABC为直角三角形.
答案 直角三角形
【点评】 本题采用的是等价转化法,将△ABC的三个顶点转化到相应矩形中,从而判断三角形形状.本题也可用两边平方展开得出结论.
三、解答题
13.如图所示,△ABC中,=,DE∥BC交AC于E,AM是BC边上的中线,交DE于N.设=a,=b,用a,b分别表示向量,,,,,.
解析 =b,=b-a,=(b-a),=(b-a),
=(a+b),=(a+b).
14.设a,b是两个不共线的非零向量,若a与b起点相同,t∈R,t为何值时,a,tb,(a+b)三向量的终点在一条直线上?
解析 设a-tb=λ(λ∈R),
化简整理得a+b=0,
∵a与b不共线,∴由平面向量基本定理有
∴
故t=时,a,tb,(a+b)的终点在一条直线上.
15.如图所示,在△ABC中,D、F分别是BC、AC的中点,=,=a,=b.
(1)用a,b表示向量、、、、;
(2)求证:B、E、F三点共线.
解析:(1)延长AD到G,
使=,
连结BG、CG,得到?ABGC,
所以=a+b,
==(a+b),
==(a+b),
==b,
=-=(a+b)-a=(b-2a),
=-=b-a=(b-2a).
(2)证明:由(1)可知=,
所以B、E、F三点共线.
16.已知O,A,B三点不共线,且=m+n,(m,n∈R).
(1)若m+n=1,求证:A,P,B三点共线;
(2)若A,P,B三点共线,求证:m+n=1.
证明 (1)m,n∈R,且m+n=1,
∴=m+n=m+(1-m),
即-=m(-).
∴=m,而≠0,且m∈R.
故与共线,又,有公共点B.
∴A,P,B三点共线.
(2)若A,P,B三点共线,则与共线,故存在实数λ,使=λ,∴-=λ(-).
即=λ+(1-λ).
由=m+n.
故m+n=λ+(1-λ).
又O,A,B不共线,∴,不共线.
由平面向量基本定理得
∴m+n=1.
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