7.3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题
一、选择题
1．不等式x－2y＞0表示的平面区域是( )．
解析 将点(1,0)代入x－2y得1－2×0＝1＞0.
答案 D
2．设实数x，y满足不等式组若x，y为整数，则3x＋4y的最小值是( )．
A．14 B．16 C．17 D．19
解析 线性区域边界上的整点为(3,1)，因此最符合条件的整点可能为(4,1)或(3,2)，对于点(4,1)，3x＋4y＝3×4＋4×1＝16；对于点(3,2)，3x＋4y＝3×3＋4×2＝17，因此3x＋4y的最小值为16.
答案 B
3. 设变量x，y满足则2x+3y的最大值为( )
A. 20 B.35 C. 45 D. 55
解析 画出可行域，根据图形可知当x=5,y=15时2x+3y最大，最大值为55，故选D.
答案 D
4．某厂生产的甲、乙两种产品每件可获利润分别为30元、20元，生产甲产品每件需用A原料2 kg、B原料4 kg，生产乙产品每件需用A原料3 kg、B原料2 kg.A原料每日供应量限额为60 kg，B原料每日供应量限额为80 kg.要求每天生产的乙种产品不能比甲种产品多超过10件，则合理安排生产可使每日获得的利润最大为( )
A．500元 B．700元
C．400元 D．650元
解析 设每天生产甲乙两种产品分别为x，y件，则x，y满足
利润z＝30x＋20y.
不等式组所表示的平面区域如图，根据目标函数的几何意义，在直线2x＋3y＝60和直线4x＋2y＝80的交点B处取得最大值，解方程组得B(15,10)，代入目标函数得zmax＝30×15＋20×10＝650.
答案 D
5．设实数x，y满足条件若目标函数z＝ax＋by(a＞0，
b＞0)的最大值为12，则＋的最小值为( )．
A. B. C. D．4
解析 由可行域可得，当x＝4，y＝6时，目标函数z＝ax＋by取得最大值，∴4a＋6b＝12，即＋＝1.∴＋＝·＝＋＋≥＋2＝.
答案 A
6．已知不等式组表示的平面区域为M，若直线y＝kx－3k与平面区域M有公共点，则k的取值范围是( )．
A. B.
C. D.
解析 如图所示，画出可行域，直线y＝kx－3k过定点(3,0)，由数形结合，知该直线的斜率的最大值为k＝0，最小值为k＝＝－.
答案 C
7．设双曲线4x2－y2＝1的两条渐近线与直线x＝围成的三角形区域(包含边界)为D，P(x，y)为D内的一个动点，则目标函数z＝x－y的最小值为( )
A．－2 B．－
C．0 D．－
解析 曲线4x2－y2＝1的两条渐近线方程为2x－y＝0,2x＋y＝0，与直线x＝围成的三角形区域如图中的阴影部分所示，所以目标函数z＝x－y在点P(，2)处取得最小值为z＝－2＝－.
答案
二、填空题
8．若点P(m,3)到直线4x－3y＋1＝0的距离为4，且点P在不等式2x＋y＜3表示的平面区域内，则m＝________.
解析 由题意可得解得m＝－3.
答案 －3
9．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为________．
解析 等式组表示的区域为图中阴影部分．
又因为ax－y＋1＝0恒过定点(0,1)，
当a＝0时，不等式组
所表示的平面区域的面积为，不合题意；当a<0时，所围成的区域面积小于，所以a>0，此时所围成的区域为三角形，其面积为S＝×1×(a＋1)＝2，解之得a＝3.
答案3
10．铁矿石A和B的含铁率a，冶炼每万吨铁矿石的CO2的排放量b及每万吨铁矿石的价格c如下表：
a
b/万吨
c/百万元
A
50%
1
3
B
70%
0.5
6
某冶炼厂至少要生产1.9(万吨)铁，若要求CO2的排放量不超过2(万吨)，则购买铁矿石的最少费用为________百万元．
解析 可设需购买A矿石x万吨，B矿石y万吨，则根据题意得到约束条件为：目标函数为z＝3x＋6y，作图可知当目标函数经过(1,2)点时目标函数取得最小值，最小值为zmin＝3×1＋6×2＝15(百万元)．
答案 15
11．若变量x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最小值为________．
解析 根据得可行域如图所示；
根据z＝x＋2y得y＝－＋，平移直线y＝－，在M点z取得最小值．根据得
此时z＝4＋2×(－5)＝－6.
答案 －6
12．若x，y满足约束条件，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是________．
解析 画出可行域，目标函数可化为y＝－x＋z，根据图象判断，当目标函数的斜率－1<－<2时，目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，这时a的取值范围是(－4,2)．
答案 (－4,2)
三、解答题
13．设集合A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三角形的三边长}．
(1)求出x，y所满足的不等式；
(2)画出点(x，y)所在的平面区域．
解析 (1)已知条件即
化简即
(2)区域如下图．
14．画出2x－3＜y≤3表示的区域，并求出所有正整数解．
解析 先将所给不等式转化为
而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，
即求的整数解．所给不等式等价于
依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．
对于2x－3＜y≤3的正整数解，再画出表示的平面区域．
如图(2)所示：
可知，在该区域内有整数解为(1,1)、(1,2)、(1,3)、(2,2)、(2,3)共五组．
15．若a≥0，b≥0，且当时，恒有ax＋by≤1，求以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的平面区域的面积．
解析 作出线性约束条件对应的可行域如图所示，在此条件下，要使ax＋by≤1恒成立，只要ax＋by的最大值不超过1即可．
令z＝ax＋by，则y＝－x＋.
因为a≥0，b≥0，则－1＜－≤0时，b≤1，或－≤－1时，a≤1.
此时对应的可行域如图，
所以以a，b为坐标的点P(a，b)所形成的面积为1.
16．某营养师要为某个儿童预订午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童S这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐？
解析 设需要预订满足要求的午餐和晚餐分别为x个单位和y个单位，所花的费用为z元，则依题意得：z＝2.5x＋4y，且x，y满足
即让目标函数表示的直线2.5x＋4y＝z在可行域上平移，由此可知z＝2.5x＋4y在(4,3)处取得最小值．
因此，应当为该儿童预订4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可满足要求．
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