7.4 基本不等式
一、选择题
1．若x＞0，则x＋的最小值为( )．
A．2 B．3 C．2 D．4
解析 ∵x＞0，∴x＋≥4.
答案 D
2．设a，b满足2a＋3b＝6，a>0，b>0，则＋的最小值为( )
A. B.
C. D．4
解析 由a>0，b>0,2a＋3b＝6得＋＝1，
∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋＋
≥＋2 ＝＋2＝.
当且仅当＝且2a＋3b＝6，即a＝b＝时等号成立．
即＋的最小值为.
答案 A
3．气象学院用3.2万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启用的第一天起连续使用，第n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”(所谓“报废最合算”是指使用的这台仪器的平均每天耗资最少)一共使用了( )
A．600天 B．800天
C．1 000天 D．1 200天
解析 设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为＝＋＋4.95，
当且仅当＝时，取得最小值，此时n＝800.本题的函数模型是一个在生活中较为常见的模型，注意如何建立这类问题的函数关系式，在有的问题中仪器还可以做废品再卖一点钱，这样要从总的耗资中把这部分除去．
答案 B
4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则( )．
A.＋有最大值4 B．ab有最小值
C.＋有最大值 D．a2＋b2有最小值
解析 由基本不等式，得ab≤＝，所以ab≤，故B错；＋＝＝≥4，故A错；由基本不等式得≤ ＝ ，即＋≤ ，故C正确；a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故D错．
答案 C
5．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是( )．
A. B．4 C. D．5
解析 依题意得＋＝(a＋b)＝≥＝，当且仅当，即a＝，
b＝时取等号，即＋的最小值是，选C.
答案 C
6．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值是( )．
A．0 B．1 C．2 D．4
解析 由题知a＋b＝x＋y，cd＝xy，x＞0，y＞0，则＝≥＝4，当且仅当x＝y时取等号．
答案 D
7. 已知都是正实数， 函数的图象过（0,1）点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
答案 A
二、填空题
8. 已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．
解析 ∵12＝4x＋3y≥2，∴xy≤3.当且仅当即时xy取得最大值3.
答案 3
9．若a是1＋2b与1－2b的等比中项，则的最大值为________．
解析 a是1＋2b与1－2b的等比中项，则a2＝1－4b2?a2＋4b2＝1.
∵a2＋4b2＝(|a|＋2|b|)2－4|ab|＝1.∴＝，这个式子只有当ab>0时取得最大值，当ab>0时，
∴＝＝＝，
由于a2＋4b2＝1，故4ab≤1，即≥4，
故当＝4时，取最大值＝.
答案
10．若实数x，y满足x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值为________．
解析 由x2＋y2＋xy＝1，得(x＋y)2－xy＝1，
即xy＝(x＋y)2－1≤，所以(x＋y)2≤1，
故－≤x＋y≤，
当x＝y时“＝”成立，所以x＋y的最大值为.
答案
11． x，y∈R，且xy≠0，则的最小值为________．
解析 ＝1＋4＋4x2y2＋≥1＋4＋2＝9，当且仅当4x2y2＝时等号成立，即|xy|＝时等号成立．
答案 9
12．在平面直角坐标系xOy中，过坐标原点的一条直线与函数f(x)＝的图象交于P，Q两点，则线段PQ长的最小值是________．
解析 假设直线与函数f(x)＝的图象在第一象限内的交点为P，在第三象限内的交点为Q，由题意知线段PQ的长为OP长的2倍．
假设P点的坐标为，则|PQ|＝2|OP|＝2≥4.当且仅当x＝，即x0＝时，取“＝”号．
答案 4
三、解答题
13．已知x＞0，y＞0，且2x＋8y－xy＝0，
求：(1)xy的最小值； (2)x＋y的最小值．
解析 ∵x＞0，y＞0,2x＋8y－xy＝0，
(1)xy＝2x＋8y≥2，
∴≥8，∴xy≥64.
故xy的最小值为64.
(2)由2x＋8y＝xy，得：＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)·1＝(x＋y)
＝10＋＋≥10＋8＝18.
故x＋y的最小值为18.
14．某单位用2 160万元购得一块空地，计划在该空地上建造一栋至少10层，每层2 000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为x(x≥10)层，则每平方米的平均建筑费用为560＋48x(单位：元)．
(1)写出楼房平均综合费用y关于建造层数x的函数关系式；
(2)该楼房应建造多少层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少？最少值是多少？
(注：平均综合费用＝平均建筑费用＋平均购地费用，平均购地费用＝)
解析 (1)依题意得y＝(560＋48x)＋
＝560＋48x＋(x≥10，x∈N＋)；
(2)∵x＞0，∴48x＋≥2＝1 440(元)，
当且仅当48x＝，即x＝15时取到“＝”，
此时，平均综合费用的最小值为560＋1 440＝2 000(元)．
所以，当该楼房建造15层时，可使楼房每平方米的平均综合费用最少，最少值为2 000元．
15．设a，b，c都是正数，求证：＋＋≥a＋b＋c.
证明 ∵a，b，c都是正数，∴，，都是正数．
∴＋≥2c，当且仅当a＝b时等号成立，
＋≥2a，当且仅当b＝c时等号成立，
＋≥2b，当且仅当a＝c时等号成立．
三式相加，得2(＋＋)≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
当且仅当a＝b＝c时等号成立．
16．桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式，某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目，该项目准备购置一块1 800平方米的矩形地块，中间挖出三个矩形池塘养鱼，挖出的泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树，池塘周围的基围宽均为2米，如图，设池塘所占的总面积为S平方米．
(1)试用x表示S；
(2)当x取何值时，才能使得S最大？并求出S的最大值．
解析 (1)由题图形知，3a＋6＝x，∴a＝.
则总面积S＝·a＋2a
＝a＝
＝1 832－，
即S＝1 832－(x＞0)．
(2)由S＝1 832－，
得S≤1 832－2
＝1 832－2×240＝1 352(平方米)．
当且仅当＝，此时，x＝45.
即当x为45米时，S最大，且S最大值为1 352平方米．
【点此下载】