8.1 空间几何体的结构、三视图和直观图
一、选择题
1．以下关于几何体的三视图的论述中，正确的是( )．
A．球的三视图总是三个全等的圆
B．正方体的三视图总是三个全等的正方形
C．水平放置的正四面体的三视图都是正三角形
D．水平放置的圆台的俯视图是一个圆
解析 画几何体的三视图要考虑视角，但对于球无论选择怎样的视角，其三视图总是三个全等的圆．
答案 A
2. 设四面体的六条棱的长分别为1，1，1，1，和且长为的棱与长为的棱异面，则的取值范围是（ ）
（A） （B） （C）（D）
答案 A
3. 下列四个几何体中，几何体只有正视图和侧视图相同的是( )
A．①② B．①③
C．①④ D．②④
解析 由几何体分析知②④中正视图和侧视图相同．
答案 ：D
4．一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形，则原平面四边形的面积等于( )．
A.a2 B．2a2 C.a2 D.a2
解析 根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则，可以得出一个平面图形的面积S与它的直观图的面积S′之间的关系是S′＝S，本题中直观图的面积为a2，所以原平面四边形的面积等于＝2a2.故选B.
答案 B
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如下图所示，则该几何体的侧视图为( )．
解析 被截去的四棱锥的三条可见侧棱中有两条为长方体的面对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面(长方形)的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有选项D符合．
答案 D
6．如下图，某几何体的正视图与侧视图都是边长为1的正方形，且体积为，则该几何体的俯视图可能是( )．
解析 当俯视图为A中正方形时，几何体为边长为1的正方体，体积为1；当俯视图为B中圆时，几何体为底面半径为，高为1的圆柱，体积为；当俯视图为C中三角形时，几何体为三棱柱，且底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1，体积为.
答案 C
7. 若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是( )
解析 由正视图可排除A，C；由侧视图可判断该几何体的直观图是B.
答案 B
二、填空题
8．利用斜二测画法得到的：
①三角形的直观图一定是三角形；
②正方形的直观图一定是菱形；
③等腰梯形的直观图可以是平行四边形；
④菱形的直观图一定是菱形．
以上结论正确的个数是________．
解析 由斜二测画法的规则可知①正确；②错误，是一般的平行四边形；③错误，等腰梯形的直观图不可能是平行四边形；而菱形的直观图也不一定是菱形，④也错误．
答案 1
9．一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正(主)视图与侧(左)视图分别如图所示，则该几何体的俯视图为________．
解析 由三视图中的正(主)、侧(左)视图得到几
何体的直观图如图所示，所以该几何体的俯视图为③.
答案 ③
10. 用单位正方体块搭一个几何体，使它的正视图和俯视图如图所示，则它的体积的最大值为________，最小值为________．
解析 由俯视图及正视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为14，体积的最小值为9.
答案 14 9
11．如图，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为________．
解析 (构造法)由正视图和俯视图可知几何体是
正方体切割后的一部分(四棱锥C1- ABCD)，还原
在正方体中，如图所示．多面体最长的一条棱即
为正方体的体对角线，如图即AC1.由正方体棱长
AB＝2知最长棱AC1的长为2.
答案 2
【点评】 构造正方体，本题就很容易得出结论，此种方法在立体几何问题中较为常见，把抽象问题转化为直观问题解决．
12．如果一个几何体的三视图如图所示，其中正视图中△ABC是边长为2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的侧视图的面积为________．
解析 根据三视图的信息可以知道相应的空间几何体是一个正六棱锥，结合数据可知其底面正六边形的边长为1，棱锥的高为h＝.由于三视图中“宽相等”，那么侧视图中的三角形的底边边长与俯视图中正六边形的高相等，可得其长度为，则该几何体的侧视图的面积为S＝××＝.
答案
三、解答题、
13．如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出(单位：cm)．
(1)在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
(2)按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
解析 (1)如图．
(2)所求多面体的体积
V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2
＝(cm3)．
14．正四棱锥的高为，侧棱长为，求侧面上斜高(棱锥侧面三角形的高)为多少？
解析 如图所示，正四棱锥S-ABCD中，
高OS＝，侧棱SA＝SB＝SC＝SD＝，
在Rt△SOA中，
OA＝＝2，∴AC＝4.
∴AB＝BC＝CD＝DA＝2.
作OE⊥AB于E，则E为AB中点．
连接SE，则SE即为斜高，
在Rt△SOE中，∵OE＝BC＝，SO＝，
∴SE＝，即侧面上的斜高为.
15. 已知，如图一个空间几何体的三视图．
(1)该空间几何体是如何构成的？
(2)画出该几何体的直观图；
(3)求该几何体的表面积和体积．
解析 (1)这个空间几何体的下半部分是一个底面各边长为2，高为1的长方体，上半部分是一个底面各边长为2，高为1的正四棱锥．
(2)按照斜二测画法可以得到其直观图，如图．
(3)由题意可知，该几何体是由长方体ABCD－A′B′C′D′与正四棱锥
P－A′B′C′D′构成的简单几何体．
由图易得：AB＝AD＝2，AA′＝1，PO′＝1，取A′B′中点Q，连接PQ，
从而PQ＝＝＝，所以该几何体表面积
S＝(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)PQ＋(A′B′＋B′C′＋C′D′＋D′A′)AA′＋AB·AD＝4＋12.
体积V＝2×2×1＋×2×2×1＝.
16．一个正方体内接于高为40 cm，底面半径为30 cm的圆锥中，求正方体的棱长．
解析 如图所示，过正方体的体对角线作圆锥的轴截面，设正方体的棱长为x cm，
则OC＝x，∴＝，
解得x＝120(3－2)，
∴正方体的棱长为120(3－2) cm.
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