8.2 空间几何体的表面积与体积 一、选择题 1．棱长为2的正四面体的表面积是(　　)． A. B．4 C．4 D．16 解析　每个面的面积为：×2×2×＝.∴正四面体的表面积为：4. 答案　C 2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么体积扩大到原来的 (　　)． A．2倍 B．2倍 C.倍 D.倍 解析　由题意知球的半径扩大到原来的倍，则体积V＝πR3，知体积扩大到原来的2倍． 答案　B 3．如图是一个长方体截去一个角后所得多面体的三视图，则该多面体的体积为(　　)．
A. B. C. D. 解析　根据三视图的知识及特点，可画出多面体 的形状，如图所示．这个多面体是由长方体截去 一个正三棱锥而得到的，所以所求多面体的体积 V＝V长方体－V正三棱锥＝4×4×6－××2＝. 答案　B 4．某几何体的三视图如下，则它的体积是(　　)
A．8－ B．8－ C．8－2π D. 解析 由三视图可知该几何体是一个边长为2的正方体内部挖去一个底面半径为1，高为2的圆锥，所以V＝23－×π×2＝8－. 答案 A 5．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆的半径为1，则该几何体的体积为(　　)
A．24－π B．24－ C．24－π D．24－ 解析　据三视图可得几何体为一长方体内挖去一个半圆柱，其中长方体的棱长分别为：2,3,4，半圆柱的底面半径为1，母线长为3，故其体积V＝2×3×4－×π×12×3＝24－. 答案　A 6．某品牌香水瓶的三视图如图 (单位：cm)，则该几何体的表面积为(　　)
A. cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2
解析 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．上面四棱柱的表面积为2×3×3＋12×1－＝30－；中间部分的表面积为2π××1＝π，下面部分的表面积为2×4×4＋16×2－＝64－.故其表面积是94＋. 答案 C　 7．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，则棱锥S-ABC的体积为(　　)． A．3 B．2 C. D．1 解析　由题可知AB一定在与直径SC垂直的小圆面上，作过AB的小圆交直径SC于D，设SD＝x，则DC＝4－x，此时所求棱锥即分割成两个棱锥S-ABD和C-ABD，在△SAD和△SBD中，由已知条件可得AD＝BD＝x，又因为SC为直径，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中 ，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD为正三角形，所以V＝S△ABD×4＝. 答案　C 二、填空题 8．三棱锥PABC中，PA⊥底面ABC，PA＝3，底面ABC是边长为2的正三角形，则三棱锥PABC的体积等于________． 解析　依题意有，三棱锥PABC的体积V＝S△ABC·|PA|＝××22×3＝. 答案　 9．一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为________． 解析 设圆柱的底面半径是r，则该圆柱的母线长是2r，圆柱的侧面积是2πr·2r＝4πr2，设球的半径是R，则球的表面积是4πR2，根据已知4πR2＝4πr2，所以R＝r.所以圆柱的体积是πr2·2r＝2πr3，球的体积是πr3，所以圆柱的体积和球的体积的比是＝3∶2. 答案 3∶2 10．如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是________．
解析　由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为1，斜高为，连接顶点和底面中心即为高，可求得高为，所以体积V＝×1×1×＝. 答案　 11．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．
解析　由球的半径为R，可知球的表面积为4πR2.设内接圆柱底面半径为r，高为2h，则h2＋r2＝R2.而圆柱的侧面积为2πr·2h＝4πrh≤4π＝2πR2(当且仅当r＝h时等号成立)，即内接圆柱的侧面积最大值为2πR2，此时球的表面积与内接圆柱的侧面积之差为2πR2. 答案　2πR2 12．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为2 cm，高为5 cm，则一质点自点A出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点A1的最短路线的长为________cm.
解析　根据题意，利用分割法将原三棱柱分割为两个相同的三棱柱，然后将其展开为如图所示的实线部分，则可知所求最短路线的长为＝13 (cm)．
答案　13 三、解答题 13．某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图1所示，墩的上半部分是正四棱锥PEFGH，下半部分是长方体ABCDEFGH.图2、图3分别是该标识墩的正视图和俯视图．
(1)请画出该安全标识墩的侧视图； (2)求该安全标识墩的体积． 解析　(1)侧视图同正视图，如图所示： (2)该安全标识墩的体积为 V＝VPEFGH＋VABCDEFGH ＝×402×60＋402×20 ＝64 000(cm3)． 14 .一个几何体的三视图如图所示．已知正视图是底边长为1的平行四边形，侧视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为1的正方形拼成的矩形． (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的表面积S. 解析 (1)由三视图可知，该几何体是一个平行六面体(如图)，其底面是边长为1的正方形，高为， 所以V＝1×1×＝. (2)由三视图可知，该平行六面体中， A1D⊥平面ABCD，CD⊥平面BCC1B1， 所以AA1＝2，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形， S＝2×(1×1＋1×＋1×2)＝6＋2. 15．已知某几何体的俯视图是如右图所示的矩形，正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．
(1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S. 解析　由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥， 其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相 对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、 右侧面均为底边长为6，高为h2的等腰三角形，如右图所示． (1)几何体的体积为：V＝·S矩形·h＝×6×8×4＝64. (2)正侧面及相对侧面底边上的高为：h1＝＝5.左、右侧面的底边上的高为：h2＝＝4. 故几何体的侧面面积为： S＝2×＝40＋24. 16．四面体的六条棱中，有五条棱长都等于a. (1)求该四面体的体积的最大值； (2)当四面体的体积最大时，求其表面积． 解析　(1)如图，在四面体ABCD中，设AB＝BC＝ CD＝AC＝BD＝a，AD＝x，取AD的中点为P， BC的中点为E，连接BP、EP、CP.得到AD⊥平面BPC， ∴VA-BCD＝VA-BPC＋VD-BPC ＝·S△BPC·AP＋S△BPC·PD ＝·S△BPC·AD ＝··a ·x ＝ ≤·＝a3(当且仅当x＝a时取等号)． ∴该四面体的体积的最大值为a3. (2)由(1)知，△ABC和△BCD都是边长为a的正三角形，△ABD和△ACD是全等的等腰三角形，其腰长为a，底边长为a， ∴S表＝2×a2＋2××a×  ＝a2＋a×＝a2＋ ＝a2.

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