8.5 直线、平面垂直的判定与性质
一、选择题
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )．
A．若l⊥m，m?α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m?α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
答案 B
2．已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的( )．
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由面面垂直的判定定理，知m⊥β?α⊥β.
答案 B
3．若m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是( )
A．若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B．若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C．若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D．若α∩β＝m，且n与α、β所成的角相等，则m⊥n
解析 容易判定选项A、B、C都正确，对于选项D，当直线m与n平行时，直线n与两平面α、β所成的角也相等，均为0°，故D不正确．
答案 D
4．设a，b为两条直线，α，β为两个平面，则下列结论成立的是( )
A．若a?α，b?β，且a∥b，则α∥β
B．若a?α，b?β，且a⊥b，则α⊥β
C．若a∥α，b?α，则a∥b
D．若a⊥α，b⊥α，则a∥b
解析 分别在两个相交平面内且和交线平行的两条直线也是平行线，故选项A的结论不成立；任意两个相交平面，在一个平面内垂直于交线的直线，必然垂直于另一个平面内与交线平行的直线，故选项B中的结论不成立；当直线与平面平行时，只有经过这条直线的平面和已知平面的交线及与交线平行的直线与这条直线平行，其余的直线和这条直线不平行，故选项C中的结论不成立；根据直线与平面垂直的性质定理知，选项D中的结论成立．正确选项D.
答案 D
5. 设是直线，a，β是两个不同的平面（ ）
A. 若∥a，∥β，则a∥β B. 若∥a，⊥β，则a⊥β
C. 若a⊥β，⊥a，则⊥β D. 若a⊥β, ∥a，则⊥β
答案 B
6．如图1所示，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，G是EF的中点，现在沿AE、AF及EF把这个正方形折成一个四面体，使B、C、D三点重合，重合后的点记为H，如图2所示，那么，在四面体AEFH中必有( )．
A．AH⊥△EFH所在平面 B．AG⊥△EFH所在平面
C．HF⊥△AEF所在平面 D．HG⊥△AEF所在平面
解析 折成的四面体有AH⊥EH，AH⊥FH，∴AH⊥面HEF.
答案 A
7．已知P为△ABC所在平面外的一点，则点P在此三角形所在平面上的射影是△ABC垂心的充分必要条件是( )．
A．PA＝PB＝PC
B．PA⊥BC，PB⊥AC
C．点P到△ABC三边所在直线的距离相等
D．平面PAB、平面PBC、平面PAC与△ABC所在的平面所成的角相等
解析 条件A为外心的充分必要条件，条件C、D为内心的必要条件，故选B.
答案 B
二、填空题
8．已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，下列四个命题：
①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；
②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；
④若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n.
其中正确的命题是________(填上所有正确命题的序号)．
解析 ②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以②错误．③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β或α，β相交，所以③错误．故填①④.
答案 ①④
9．结论“过一点作一个平面的垂线只能作一条”是_______的(填“正确”或“错误”)．
解析 理由是如果能够作两条，则根据直线与平面垂直的性质定理，这两条直线平行，但根据已知这两条直线又相交，这是不可能的．
答案 正确
10．已知P为△ABC所在平面外一点，且PA、PB、PC两两垂直，则下列命题：
①PA⊥BC；②PB⊥AC；③PC⊥AB；④AB⊥BC.
其中正确的个数是________．
解析 如图所示．∵PA⊥PC、PA⊥PB，
PC∩PB＝P，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC?平面PBC，∴PA⊥BC.
同理PB⊥AC、PC⊥AB.但AB不一定垂直于BC.
答案 3个
11．设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：
①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；
②若α⊥γ，β⊥γ，且α∩β＝l，则l⊥γ；
③若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则直线l与平面α垂直；
④若α内存在不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β.
其中真命题的序号为________(写出所有真命题的序号)．
解析 借助于正方体易知①②正确；对于③，若平面α内与直线l垂直的无数条直线都平行，则直线l可能与平面α不垂直，所以③错；④中的不共线的三点有可能是在平面β的两侧，所以两个平面可能相交可能平行．故填①②.
答案 ①②
12. 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
解析 由定理可知，BD⊥PC.
∴当DM⊥PC时，即有PC⊥平面MBD，而PC?平面PCD，
∴平面MBD⊥平面PCD.
答案 DM⊥PC(答案不唯一)
三、解答题
13．已知斜三棱柱ABC－A1B1C1的底面是直角三角形，∠C＝90°，点B1在底面上射影D落在BC上．
(1)求证：AC⊥平面BB1C1C；
(2)若AB1⊥BC1，且∠B1BC＝60°，求证：A1C∥平面AB1D.
解析 (1)∵B1D⊥平面ABC，AC?平面ABC，
∴B1D⊥AC.
又∵BC⊥AC，B1D∩BC＝D，
∴AC⊥平面BB1C1C.
(2) ≠?
?BC1⊥B1C，
∴四边形BB1C1C为菱形，
∵∠B1BC＝60°，B1D⊥BC于D，∴D为BC的中点．
连接A1B，与AB1交于点E，在三角形A1BC中，DE∥A1C，
∴A1C∥平面AB1D.
14．如图所示，已知PA⊥矩形ABCD所在平面，M，N分别是AB，PC的中点．
(1)求证：MN⊥CD；
(2)若∠PDA＝45°，求证：MN⊥平面PCD.
证明 (1)如图，连结AC，AN，BN，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥AC，在Rt△PAC中，N为PC中点，
∴AN＝PC.
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BC，又BC⊥AB，
PA∩AB＝A，
∴BC⊥平面PAB，
∴BC⊥PB，
从而在Rt△PBC中，BN为斜边PC上的中线，
∴BN＝PC.∴AN＝BN，∴△ABN为等腰三角形，又M为底边的中点，∴MN⊥AB，
又∵AB∥CD，∴MN⊥CD.
(2)连结PM、MC，∵∠PDA＝45°，PA⊥AD，∴AP＝AD.
∵四边形ABCD为矩形，∴AD＝BC，∴PA＝BC.
又∵M为AB的中点，∴AM＝BM.
而∠PAM＝∠CBM＝90°，∴PM＝CM.
又N为PC的中点，∴MN⊥PC.
由(1)知，MN⊥CD，PC∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.
15．如图所示是某直三棱柱(侧棱与底面垂直)被削去上底后的直观图与三视图中的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形．
(1)若N是BC的中点，证明：AN∥平面CME；
(2)证明：平面BDE⊥平面BCD.
证明 (1)连接MN，则MN∥CD，AE∥CD，
又MN＝AE＝CD，∴四边形ANME为平行四边形，
∴AN∥EM.∵AN?平面CME，EM?平面CME，
∴AN∥平面CME.
(2)∵AC＝AB，N是BC的中点，AN⊥BC，
又平面ABC⊥平面BCD，∴AN⊥平面BCD.
由(1)，知AN∥EM，∴EM⊥平面BCD.
又EM?平面BDE，∴平面BDE⊥平面BCD.
【点评】 解决立体几何中的平行和垂直关系问题主要步骤有：
第一步：根据条件合理转化．
第二步：写清推证平行或垂直的所需条件，注意要充分．
第三步：写出结论．
16．如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，DB＝BC，DB⊥AC，点M是棱BB1上一点．
(1)求证：B1D1∥平面A1BD；
(2)求证：MD⊥AC；
(3)试确定点M的位置，使得平面DMC1⊥平面CC1D1D.
解析 (1)证明 由直四棱柱，得BB1∥DD1，又∵BB1＝DD1，
∴BB1D1D是平行四边形，
∴B1D1∥BD.
而BD?平面A1BD，B1D1?平面A1BD，
∴B1D1∥平面A1BD.
(2)证明 ∵BB1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BB1⊥AC.
又∵BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D.
而MD?平面BB1D，∴MD⊥AC.
(3) 当点M为棱BB1的中点时，
平面DMC1⊥平面CC1D1D.取DC的中点N，D1C1的中点
N1，连接NN1交DC1于O，连接OM，如图所示．
∵N是DC的中点，BD＝BC，
∴BN⊥DC.又∵DC是平面ABCD与平面DCC1D1的交线，
而平面ABCD⊥平面DCC1D1，
∴BN⊥平面DCC1D1.
又可证得O是NN1的中点，
∴BM∥ON且BM＝ON，即BMON是平行四边形．
∴BN∥OM.∴OM⊥平面CC1D1D.
∵OM?平面DMC1，
∴平面DMC1⊥平面CC1D1D.
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