8.6 空间向量及其运算
一、选择题
1．若{a，b，c}为空间的一组基底，则下列各项中，能构成基底的一组向量是( )．
A．{a，a＋b，a－b} B．{b，a＋b，a－b}
C．{c，a＋b，a－b} D．{a＋b，a－b，a＋2b}
解析 若c、a＋b、a－b共面，则c＝λ(a＋b)＋m(a－b)＝(λ＋m)a＋(λ－m)b，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量的一组基底矛盾，故c，a＋b，a－b可构成空间向量的一组基底．
答案 C
2．以下四个命题中正确的是( )．
A．空间的任何一个向量都可用其他三个向量表示
B．若{a，b，c}为空间向量的一组基底，则{a＋b，b＋c，c＋a}构成空间向量的另一组基底
C．△ABC为直角三角形的充要条件是·＝0
D．任何三个不共线的向量都可构成空间向量的一组基底
解析 若a＋b、b＋c、c＋a为共面向量，则a＋b＝λ(b＋c)＋μ(c＋a)，(1－μ)a＝(λ－1)b＋(λ＋μ)c，λ，μ不可能同时为1，设μ≠1，则a＝b＋c，则a、b、c为共面向量，此与{a，b，c}为空间向量基底矛盾．
答案 B
3．有下列命题：
①若p＝xa＋yb，则p与a，b共面；
②若p与a，b共面，则p＝xa＋yb.
③若＝x＋y，则P，M，A、B共面；
④若P，M，A，B共面，则＝x＋y.
其中真命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
解析 其中①③为正确命题．
答案 B
4. 如图，在底面ABCD为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝a，＝b，＝c则下列向量中与相等的向量是( )
A．－a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a－b＋c D．－a－b＋c
解析 ＝＋＝＋＋
＝－a＋b＋c.
答案 A
5．如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，且∠AOB＝∠AOC＝，则cos〈，〉的值为( )．
A．0 B.
C. D.
解析 设＝a，＝b，＝c
由已知条件〈a，b〉＝〈a，c〉＝，且|b|＝|c|，
·＝a·(c－b)＝a·c－a·b
＝|a||c|－|a||b|＝0，∴cos〈，〉＝0.
答案 A
6．如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是( )
A.
B.
C．1
D.
解析 ＝＋＋，∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·＝1＋1＋1－＝3－，故||＝.
答案 D
7．下列命题中
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②不等式|a＋b|＜|a|＋|b|的充要条件是a与b不共线；
③若非零向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ、μ∈R，且λμ≠0)，则c⊥d.
正确命题的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．3
解析 只有命题③是正确命题．
答案 B
二、填空题
8．如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB、AC，M、N分别为OA、BC的中点，点G在线段MN上，且＝2，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为________________．
解析 ∵＝＋＝＋
＝＋(－)
＝＋－
＝＋×(＋)－×
＝＋＋
∴x，y，z的值分别为，，.
答案 ，，
9. 设R，向量，且，则
解析 .
答案
10．在平行六面体(即六个面都是平行四边形的四棱柱)ABCD－A′B′C′D′中，AB＝1，AD＝2，AA′＝3，∠BAD＝90°，∠BAA′＝∠DAA′＝60°，则AC′的长为________．
解析 如图，＝＋＋＝＋＋，
所以|AC′|＝||＝|＋＋|
＝
＝＝.
答案
11．已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，①(＋＋)2＝32；②·(－)＝0；③向量与向量的夹角是60°；④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为|··|.其中正确命题的序号是________．
解析 由⊥，⊥，⊥⊥，得(＋＋)2＝3()2，故①正确；②中－＝，由于AB1⊥A1C，故②正确；③中A1B与AD1两异面直线所成角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中|··|＝0.故④也不正确．
答案 ①②
12．如图，空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，则OA与BC所成角的余弦值等于________．
X
解析 设＝a，＝b，＝c.
OA与BC所成的角为θ，
·＝a(c－b)＝a·c－a·b
＝a·(a＋)－a·(a＋)
＝a2＋a·－a2－a·＝24－16.
∴cos θ＝＝＝.
答案
三、解答题
13．已知非零向量e1，e2不共线，如果＝e1＋e2，＝2e1＋8e2，＝3e1－3e2，求证：A、B、C、D共面．
证明 令λ(e1＋e2)＋μ(2e1＋8e2)＋v(3e1－3e2)＝0.
则(λ＋2μ＋3v)e1＋(λ＋8μ－3v)e2＝0.
∵e1，e2不共线，∴
易知是其中一组解，
则－5＋＋＝0.
∴A、B、C、D共面．
14．如右图，在棱长为a的正方体ABCD
-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，
(1)试证A1、G、C三点共线；
(2)试证A1C⊥平面BC1D；
(3)求点C到平面BC1D的距离．
解析 (1)证明 ＝＋＋＝＋＋，
可以证明：＝(＋＋)＝，
∴∥即A1、G、C三点共线．
(2)证明 设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，
且a·b＝b·c＝c·a＝0，
∵＝a＋b＋c，＝c－a，∴·＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，
∴⊥，即CA1⊥BC1，同理可证：⊥，
因此A1C⊥平面BC1D.
(3) ∵＝a＋b＋c，∴2＝a2＋b2＋c2＝3a2，
即||＝a，
因此||＝a.即C到平面BC1D的距离为a.
15．把边长为a的正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：
(1)EF的长；
(2)折起后∠EOF的大小．
解析 如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O－xyz，则A（0，－a,0），
B（a,0,0），C（0，a,0），D（0,0，a），E（0，－a，a），
F（a，a,0）.
(1)||2＝2＋2＋2＝a2，∴|EF|＝a.
(2)＝，＝，
·＝0×a＋×＋a×0＝－，
||＝，||＝，cos〈，〉＝＝－，
∴∠EOF＝120°.
16．如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB、AD、CD的中点，计算：
(1)·； (2)·；
(3)EG的长； (4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．
解析 设＝a，＝b，＝c.
则|a|＝|b|＝|c|＝1，
〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，
(1)＝＝c－a，
＝－a，＝b－c，
(2)·＝·(－a)
＝a2－a·c＝，
·＝(c－a)·(b－c)
＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－；
(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b
＝－a＋b＋c，
||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a
＝，则||＝.
(4)＝b＋c，
＝＋＝－b＋a，
cos〈，〉＝＝－，
由于异面直线所成角的范围是(0°，90°]，
所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.
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