8.7 立体几何中的向量方法（Ⅰ）----证明平行与垂直
一、选择题
1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(2,4，－4)，b＝(－6,9,6)，则( )．
A．l1∥l2 B．l1⊥l2
C．l1与l2相交但不垂直 D．以上均不正确
答案 B
2．直线l1，l2相互垂直，则下列向量可能是这两条直线的方向向量的是( )
A．s1＝(1,1,2)，s2＝(2，－1,0)
B．s1＝(0,1，－1)，s2＝(2,0,0)
C．s1＝(1,1,1)，s2＝(2,2，－2)
D．s1＝(1，－1,1)，s2＝(－2,2，－2)
解析 两直线垂直，其方向向量垂直，只有选项B中的两个向量垂直．
答案 B
3．已知a＝，b＝满足a∥b，则λ等于( )．
A. B. C．－ D．－
解析 由＝＝，可知λ＝.
答案 B
4．若直线l的方向向量为a，平面α的法向量为n，能使l∥α的是 ( )．
A．a＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0)
B．a＝(1,3,5)，n＝(1,0,1)
C．a＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1)
D．a＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
解析 若l∥α，则a·n＝0.
而A中a·n＝－2，
B中a·n＝1＋5＝6，
C中a·n＝－1，只有D选项中a·n＝－3＋3＝0.
答案 D
5．若平面α，β平行，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )
A．n1＝(1,2,3)，n2＝(－3,2,1)
B．n1＝(1,2,2)，n2＝(－2,2,1)
C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2,2,1)
D．n1＝(1,1,1)，n2＝(－2，－2，－2)
解析 两个平面平行时其法向量也平行，检验知正确选项为D.
答案 D
6．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )．
A. B. C. D.
解析 由题意得c＝ta＋μb
＝(2t－μ，－t＋4μ，3t－2μ)，
∴∴.
答案 D
7．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是( )
A．(1，－1,1) B.
C. D.
解析 对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0.
答案 B
二、填空题
8．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2,0,2)，则l1与l2的位置关系是_______．
解析 ∵v2＝－2v1，∴v1∥v2.
答案 平行
9．平面α的一个法向量n＝(0,1，－1)，如果直线l⊥平面α，则直线l的单位方向向量是s＝________.
解析 直线l的方向向量平行于平面α的法向量，故直线l的单位方向向量是
s＝±.
答案 ±
10．已知点A，B，C∈平面α，点P?α，则·＝0，且·＝0是·
＝0的_______．
解析 由，得·(－)＝0，
即·＝0，亦即·＝0，
反之，若·＝0，
则·(－)＝0?·＝·，未必等于0.
答案 充分不必要条件
11．已知＝(2,2,1)，＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量是________．
解析 设平面ABC的法向量n＝(x，y，z)．
则即
令z＝1，得∴n＝，
∴平面ABC的单位法向量为±＝±.
答案 ±
12．已知＝(1,5，－2)，＝(3,1，z)，若⊥，＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为________．
解析 由题知：⊥，⊥.
所以即
解得x＝，y＝－，z＝4.
答案 ，－，4
三、解答题
13．已知：a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，求：
a，b，c.
解析 因为a∥b，所以＝＝，
解得x＝2，y＝－4，
这时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)．
又因为b⊥c，
所以b·c＝0，即－6＋8－z＝0，
解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．
14.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.
证明 法一 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
则M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)，
于是＝，
设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．
则n·＝0，且n·＝0，得
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，
∴⊥n，又MN?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
法二 ＝－＝－
＝(－)＝，
∴∥，又∵MN与DA1不共线，∴MN∥DA1，
又∵MN?平面A1BD，A1D?平面A1BD，
∴MN∥平面A1BD.
15．如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为3的正方体，点E在AA1上，点F在CC1上，且AE＝FC1＝1.
(1)求证：E，B，F，D1四点共面；
(2)若点G在BC上，BG＝，点M在BB1上，GM⊥BF，垂足为H，求证：EM⊥面BCC1B1.
证明 (1)建立如图所示的坐标系，则＝(3,0,1)，＝(0,3,2)，＝(3,3,3)．
所以＝＋，
故、、共面．
又它们有公共点B，
所以E、B、F、D1四点共面．
(2)如图，设M(0,0，z)，
则＝，而＝(0,3,2)，
由题设得·＝－×3＋z·2＝0，得z＝1.
因为M(0,0,1)，E(3,0,1)，所以＝(3,0,0)．
又＝(0,0,3)，＝(0,3,0)，
所以·＝0，·＝0，
从而ME⊥BB1，ME⊥BC.
又BB1∩BC＝B，
故ME⊥平面BCC1B1.
16．如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．
求证：(1)AM∥平面BDE；
(2)AM⊥平面BDF.
证明 (1)建立如图所示的空间直角坐标系，
设AC∩BD＝N，连接NE.
则点N、E的坐标分别为
、(0,0,1)．
∴＝.
又点A、M的坐标分别是(，，0)、
∴＝.
∴＝且NE与AM不共线．∴NE∥AM.
又∵NE?平面BDE，AM?平面BDE，
∴AM∥平面BDE.
(2)由(1)知＝，
∵D(，0,0)，F(，，1)，∴＝(0，，1)
∴·＝0，∴AM⊥DF.
同理AM⊥BF.
又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.
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