8.8 立体几何中的向量方法（Ⅱ）----求空间角、距离 一、选择题 1．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面正方形ABCD的中心，M是D1D的中点，N是A1B1上的动点，则直线NO、AM的位置关系是(　　)．
A．平行 B．相交 C．异面垂直 D．异面不垂直 解析　建立坐标系如图，设正方体的棱长为2， 则A(2,0,0)，M(0,0,1)， O(1,1,0)，N(2，t,2)，＝(－1,1－t，－2)， ＝(－2,0,1)，·＝0，则直线NO、AM的 位置关系是异面垂直． 答案　C 2．正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(　　)． A.a B.a C.a D.a 解析　以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则A(a,0,0)，C1(0，a，a)，N. 设M(x，y，z)， ∵点M在AC1上且＝， ∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z) ∴x＝a，y＝，z＝. 得M， ∴||＝ ＝a. 答案　A 3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)． A. B. C. D. 解析　设正方体的棱长为2，以D为坐标原点， DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角 坐标系(如图)，可知＝(2，－2,1)，＝(2,2，－1)， cos〈，〉＝－，sin〈，〉＝， 答案　B 4．两平行平面α，β分别经过坐标原点O和点A(2,1,1)，且两平面的一个法向量n＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是(　　) A. B. C. D．3 解析 两平面的一个单位法向量n0＝，故两平面间的距离d＝|·n0|＝. 答案　B 5．已知直二面角α-l-β，点A∈α，AC⊥l，C为垂足，点B∈β，BD⊥l，D为垂足，若AB＝2，AC＝BD＝1，则CD＝(　　)． A．2 B. C. D．1 解析　如图，建立直角坐标系D-xyz，由已 知条件B(0,0,1)，A(1，t,0)(t＞0)， 由AB＝2解得t＝. 答案　C 6．正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BB1中点，G是DD1中点，F是BC上一点且FB＝BC，则GB与EF所成的角为(　　)． A．30° B．120° C．60° D．90° 解析　如图建立直角坐标系D-xyz， 设DA＝1，由已知条件 G，B， E，F， ＝，＝ cos〈，〉＝＝0，则⊥. 答案　D 7．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2.若二面角B1－DC－C1的大小为60°，则AD的长为(　　)
A. B. C．2 D. 解析 如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,0,0)，B1(0,2,2)， C1(0,0,2)，D(1,0,1) 设AD＝a，则D点坐标为(1,0，a)，
＝(1,0，a)，
＝(0,2,2)， 设平面B1CD的一个法向量为m＝(x，y，z)． 则?，令z＝－1， 得m＝(a,1，－1)，又平面C1DC的一个法向量为n(0,1,0)， 则由cos60°＝，得＝，即a＝， 故AD＝. 答案：A 二、填空题 8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P在线段BD1上．当∠APC最大时，三棱锥P－ABC的体积为________． 解析 以B为坐标原点，BA为x轴，BC为y轴，BB1为z轴建立空间直角坐标系(如图)，设
＝λ
，可得P(λ，λ，λ)， 再由cos∠APC＝可求得当λ＝时，∠APC最大， 故VP－ABC＝××1×1×＝.
答案  9．如图，在空间直角坐标系中有棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1，点M是线段DC1上的动点，则点M到直线AD1距离的最小值为________．
解析 设M(0，m，m)(0≤m≤a)，＝(－a,0，a)，直线AD1的一个单位方向向量s0＝，由＝(0，－m，a－m)，故点M到直线AD1的距离d＝＝＝，根式内的二次函数当m＝－＝时取最小值2－a×＋a2＝a2，故d的最小值为a. 答案 a 10．若向量a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1,2)且a与b的夹角的余弦值为，则λ＝________. 解析　由已知得＝＝， ∴8 ＝3(6－λ)，解得λ＝－2或λ＝. 答案　－2或 11．正四棱锥S -ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC的夹角的大小为________． 解析　如图所示，以O为原点建立空间 直角坐标系O-xyz. 设OD＝SO＝OA＝OB＝OC＝a， 则A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(－a,0,0)， P. 则＝(2a,0,0)，＝，＝(a，a,0)． 设平面PAC的法向量为n，可求得n＝(0,1,1)， 则cos〈，n〉＝＝＝. ∴〈，n〉＝60°， ∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°＝30°. 答案　30° 12．已知点E、F分别在正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BB1，CC1上，且B1E＝2EB，CF＝2FC1，则面AEF与面ABC所成的二面角的正切值为________． 解析　如图，建立直角坐标系D-xyz， 设DA＝1由已知条件A(1,0,0)， E，F， ＝，＝， 设平面AEF的法向量为n＝(x，y，z)， 面AEF与面ABC所成的二面角为θ， 由得 令y＝1，z＝－3，x＝－1，则n＝(－1,1，－3) 平面ABC的法向量为m＝(0,0，－1) cos θ＝cos〈n，m〉＝，tan θ＝. 答案　 三、解答题 13. 如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD.四边形ABCD中，AB⊥AD，AB＋AD＝4，CD＝，∠CDA＝45°. (1)求证：平面PAB⊥平面PAD； (2)设AB＝AP.若直线PB与平面PCD所成的角为30°，求线段AB的长． 解析：(1)证明：因为PA⊥平面ABCD， AB?平面ABCD， 所以PA⊥AB. 又AB⊥AD，PA∩AD＝A， 所以AB⊥平面PAD. 又AB?平面PAB，所以平面PAB⊥平面PAD. (2)以A为坐标原点，建立空间直角坐标系A－xyz(如图)． 在平面ABCD内，作CE∥AB交AD于点E，则CE⊥AD. 在Rt△CDE中，DE＝CD·cos45°＝1，CE＝CD·sin45°＝1. 设AB＝AP＝t，则B(t,0,0)，P(0,0，t)． 由AB＋AD＝4得AD＝4－t， 所以E(0,3－t,0)，C(1,3－t,0)，D(0,4－t,0)，
＝(－1,1,0)，
＝(0,4－t，－t)． 设平面PCD的一个法向量为n＝(x，y，z)， 由n⊥
，n⊥
，得 取x＝t，得平面PCD的一个法向量n＝(t，t,4－t)． 又
＝(t,0，－t)，故由直线PB与平面PCD所成的角为30°得 cos60°＝||，即＝， 解得t＝或t＝4(舍去，因为AD＝4－t>0)， 所以AB＝. 14．如图所示，四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，BC＝2，CD＝，AB＝AC.
(1)证明：AD⊥CE； (2)设侧面ABC为等边三角形，求二面角C-AD-E的大小． 解析 (1)证明　取BC中点O， 连接AO，则AO⊥BC 由已知条件AO⊥平面BCDE， 如图，建立直角坐标系O-xyz， 则A(0,0，t)，D(1，，0)， C(1,0,0)，E(－1，，0)， ＝(1，，－t)， ＝(－2，，0)， 则·＝0，因此AD⊥CE. (2) 作CF⊥AD垂足为F，连接EF， 由AD⊥平面CEF知EF⊥AD， 则∠CFE为二面角C-AD-E的平面角． 在Rt△ACD中，CF＝＝， 在等腰△ADE中EF＝， cos∠CFE＝＝－. ∴二面角CADE的余弦值为－. 15．在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.
(1)若M是线段AD的中点， 求证：GM∥平面ABFE； (2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A-BF-C的大小． 解析 (1)证明　法一　因为EF∥AB， FG∥BC，EG∥AC， ∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG. 由于AB＝2EF，因此BC＝2FG. 连接AF，由于FG∥BC，FG＝BC， 在?ABCD中，M是线段AD的中点，则AM∥BC，且AM＝BC， 因此FG∥AM且FG＝AM， 所以四边形AFGM为平行四边形，因此GM∥FA. 又FA?平面ABFE，GM?平面ABFE， 所以GM∥平面ABFE. 法二　因为EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，∠ACB＝90°， 所以∠EGF＝90°，△ABC∽△EFG， 由于AB＝2EF，所以BC＝2FG. 取BC的中点N，连接GN， 因此四边形BNGF为平行四边形，所以GN∥FB. 在?ABCD中，M是线段AD的中点，连接MN， 则MN∥AB. 因为MN∩GN＝N，AB∩FB＝B， 所以平面GMN∥平面ABFE. 又GM?平面GMN， 所以GM∥平面ABFE. (2)法一　因为∠ACB＝90°，所以∠CAD＝90°， 又EA⊥平面ABCD， 所以AC，AD，AE两两垂直． 分别以AC，AD，AE所在直线为x轴、y轴和z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 不妨设AC＝BC＝2AE＝2，则由题意得 A(0,0,0)，B(2，－2,0)，C(2,0,0)， E(0,0,1)，所以＝(2，－2,0)，＝(0,2,0)． 又EF＝AB， 所以F(1，－1,1)，＝(－1,1,1)． 设平面BFC的法向量为m＝(x1，y1，z1)， 则m·＝0，m·＝0， 所以 取z1＝1，得x1＝1，所以m＝(1,0,1)． 设平面ABF的法向量为n＝(x2，y2，z2)， 则n·＝0，n·＝0， 所以 取y2＝1，得x2＝1，则n＝(1,1,0)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 因此二面角A-BF-C的大小为60°. 法二　由题意知，平面ABFE⊥平面ABCD， 取AB的中点H，连接CH， 因为AC＝BC，所以CH⊥AB， 则CH⊥平面ABFE. 过H向BF引垂线交BF于R，连接CR， 则CR⊥BF， 所以∠HRC为二面角A-BF-C的平面角． 由题意，不妨设AC＝BC＝2AE＝2. 在直角梯形ABFE中，连接FH， 则FH⊥AB，又AB＝2， 所以HF＝AE＝1，BH＝， 因此在Rt△BHF中，HR＝. 由于CH＝AB＝， 所以在Rt△CHR中，tan∠HRC＝＝， 因此二面角A-BF-C的大小为60°. 16．如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点． (1)求证：AF∥平面BCE； (2)求证：平面BCE⊥平面CDE； (3)求直线BF和平面BCE所成角的正弦值．
解析 方法一： (1)证法一：取CE的中点G，连接FG、BG. ∵F为CD的中点，∴GF∥DE且GF＝DE， ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD， ∴AB∥DE，∴GF∥AB. 又AB＝DE，∴GF＝AB.又DE＝2AB， ∴四边形GFAB为平行四边形，则AF∥BG. ∵AF?平面BCE，BG?平面BCE， ∴AF∥平面BCE. 证法二：取DE的中点M，连接AM、FM， ∵F为CD的中点，∴FM∥CE. ∵AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，∴DE∥AB. 又AB＝DE＝ME， ∴四边形ABEM为平行四边形，则AM∥BE. ∵FM、AM?平面BCE，CE、BE?平面BCE， ∴FM∥平面BCE，AM∥平面BCE. 又FM∩AM＝M，∴平面AFM∥平面BCE. ∵AF?平面AFM， ∴AF∥平面BCE.
(2)证明：∵△ACD为等边三角形，F为CD的中点， ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD，AF?平面ACD，∴DE⊥AF. 又CD∩DE＝D，故AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF，∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)在平面CDE内，过F作FH⊥CE于H，连接BH， ∵平面BCE⊥平面CDE，∴FH⊥平面BCE. ∴∠FBH为BF和平面BCE所成的角． 设AD＝DE＝2AB＝2a，则FH＝CFsin45°＝a， BF＝＝＝2a， 在Rt△FHB中，sin∠FBH＝＝. ∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为. 方法二： 设AD＝DE＝2AB＝2a，建立如图所示的坐标系A－xyz，则A(0,0,0)，C(2a,0,0)，B(0,0，a)，D(a，a,0)，E(a，a,2a)．
∵F为CD的中点，∴F. (1)证明：＝，＝(a，a，a)，＝(2a,0，－a)， ∵＝(＋)，AF?平面BCE，∴AF∥平面BCE. (2)证明：∵＝，＝(－a，a,0)，＝(0,0，－2a)， ∴·＝0，·＝0，∴⊥，⊥. ∴⊥平面CDE，又AF∥平面BCE， ∴平面BCE⊥平面CDE. (3)设平面BCE的法向量为n＝(x，y，z)，由n·＝0，n·＝0可得 x＋y＋z＝0,2x－z＝0，取n＝(1，－，2)． 又＝，设BF和平面BCE所成的角为θ，则 sinθ＝＝＝. ∴直线BF和平面BCE所成角的正弦值为.

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