9.2 两条直线的位置关系
一、选择题
1．直线l过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0垂直，则l的方程是( )．
A．3x＋2y－1＝0 B．2x－3y＋5＝0
C．3x＋2y＋7＝0 D．2x－3y＋8＝0
解析 由直线l与直线2x－3y＋4＝0垂直，可知直线l的斜率是－，由点斜式可得直线l的方程为y－2＝－(x＋1)，即3x＋2y－1＝0.
答案 A
2．m＝－1是直线mx＋(2m－1)y＋1＝0和直线3x＋my＋2＝0垂直的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析 由两直线垂直?3m＋m(2m－1)＝0?m＝0或－1，所以m＝－1是两直线垂直的充分不必要条件．
答案 A
3．直线l：4x＋3y－2＝0关于点A(1,1)对称的直线方程为( )
A．4x＋3y－4＝0 B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0 D．4x－3y－12＝0
解析 在对称直线上任取一点P(x，y)，
则点P关于点A对称的点P′(x′，y′)必在直线l上．
由得P′(2－x,2－y)，
∴4(2－x)＋3(2－y)－2＝0，即4x＋3y－12＝0.
答案 B
4．过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( )．
A．x＋2y－5＝0 B．2x＋y－4＝0
C．x＋3y－7＝0 D．3x＋y－5＝0
解析 所求直线过点A且与OA垂直时满足条件，此时kOA＝2，故求直线的斜率为－，所以直线方程为y－2＝－(x－1)，即x＋2y－5＝0.
答案 A
5．已知点A(1，－2)，B(m,2)，且线段AB的垂直平分线的方程是x＋2y－2＝0，则实数m的值是( )．
A．－2 B．－7 C．3 D．1
解析 由已知条件可知线段AB的中点在直线x＋2y－2＝0上，把中点坐标代入直线方程，解得m＝3.
答案 C
6. 直线与直线互相垂直，则a的值为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
解析 因为两直线垂直,所以,解得,故选C.
答案 C
7．若曲线y＝2x－x3在横坐标为－1的点处的切线为l，则点P(3,2)到直线l的距离为( )．
A. B. C. D.
解析 由题意得切点坐标为(－1，－1)．切线斜率为k＝y′|x＝－1＝2－3×(－1)2＝－1，故切线l的方程为y－(－1)＝－1[x－(－1)]，整理得x＋y＋2＝0，由点到直线的距离公式得：点P(3,2)到直线l的距离为＝.
答案 A
二、填空题
8. 若直线与直线与直线互相垂直，则实数=___ ____.
解析 ，即.
答案 1
9. 已知直线与平行，则k的值是________.
解析 因为两直线平行,所以当时,成立;当时,,解得.
答案 3或5
10．已知＋＝1(a＞0，b＞0)，点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离的最小值为________．
解析 点(0，b)到直线x－2y－a＝0的距离为d＝＝(a＋2b)＝≥(3＋2)＝，当a2＝2b2且a＋b＝ab，即a＝1＋，b＝时取等号．
答案
11．若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是
①15° ②30° ③45° ④60° ⑤75°
其中正确答案的序号是________(写出所有正确答案的序号)．
解析 记直线m的倾斜角是θ.由题意知直线l1、l2间的距离等于＝.又直线m被直线l1、l2所截得的线段的长是2，因此直线m与直线l1的夹角的正弦值等于＝，直线m与直线l1的夹角是30°，又直线l1的倾斜角是45°，因此θ＝15°或θ＝75°，故正确答案的序号是①⑤.
答案 ①⑤
12．已知0＜k＜4，直线l1：kx－2y－2k＋8＝0和直线l2：2x＋k2y－4k2－4＝0与两坐标轴围成一个四边形，则使得这个四边形面积最小的k值为________．
解析 由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,4)，直线l1的纵截距为4－k，直线l2的横截距为2k2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(4－k)＋×4×(2k2＋2)＝4k2－k＋8，故面积最小时，k＝.
答案
三、解答题
13．已知直线l：3x－y＋3＝0，求：
(1)点P(4,5)关于l的对称点；
(2)直线x－y－2＝0关于直线l对称的直线方程．
解析：设P(x，y)关于直线l：3x－y＋3＝0的对称点为P′(x′，y′)．
∵kPP′·kl＝－1，即×3＝－1.①
又PP′的中点在直线3x－y＋3＝0上，
∴3×－＋3＝0.②
由①②得
(1)把x＝4，y＝5代入③及④得x′＝－2，y′＝7，
∴P(4,5)关于直线l的对称点P′的坐标为(－2,7)．
(2)用③④分别代换x－y－2＝0中的x，y，
得关于l的对称直线方程为－－2＝0，
化简得7x＋y＋22＝0.
14．已知两直线l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，求满足下列条件的a，b的值．
(1)l1⊥l2，且直线l1过点(－3，－1)；
(2)l1∥l2，且坐标原点到这两条直线的距离相等．
解析 (1)∵l1⊥l2，∴a(a－1)－b＝0.
又∵直线l1过点(－3，－1)，∴－3a＋b＋4＝0.
故a＝2，b＝2.
(2)∵直线l2的斜率存在，l1∥l2，∴直线l1的斜率存在．
∴k1＝k2，即＝1－a.
又∵坐标原点到这两条直线的距离相等，
∴l1，l2在y轴上的截距互为相反数，即＝b.
故a＝2，b＝－2或a＝，b＝2.
15．过点P(1,2)的直线l被两平行线l1：4x＋3y＋1＝0与l2：4x＋3y＋6＝0截得的线段长|AB|＝，求直线l的方程.
解析 设直线l的方程为y－2＝k(x－1)，
由解得A；
由解得B.
∵|AB|＝，
∴ ＝，
整理，得7k2－48k－7＝0，
解得k1＝7或k2＝－.
因此，所求直线l的方程为x＋7y－15＝0，或7x－y－5＝0.
16．过点P(0,1)作直线l使它被直线l1：2x＋y－8＝0和l2：x－3y＋10＝0截得的线段被点P平分，求直线l的方程．
解析 设l1与l的交点为A(a,8－2a)，
则由题意知，点A关于点P的对称点B(－a,2a－6)在l2上，
代入l2的方程得－a－3(2a－6)＋10＝0，
∴a＝4，即点A(4,0)在直线l上，
所以直线l的方程为x＋4y－4＝0.
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