9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系 一、选择题 1．已知集合A＝{(x，y)|x，y为实数，且x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|x，y为实数，且x＋y＝1}，则A∩B的元素个数为(　　)． A．4 B．3 C．2 D．1 解析　法一　(直接法)集合A表示圆，集合B表 示一条直线，又圆心(0,0)到直线x＋y＝1的距离 d＝＝＜1＝r，所以直线与圆相交，故选C. 法二　(数形结合法)画图可得，故选C. 答案　C  2．过圆x2＋y2＝1上一点作圆的切线与x轴、y轴的正半轴交于A、B两点，则|AB|的最小值为(　　) A. B. C．2 D．3 解析 设圆上的点为(x0，y0)，其中x0>0，y0>0，则切线方程为x0x＋y0y＝1. 分别令x＝0，y＝0得A(，0)，B(0，)， ∴|AB|＝＝≥＝2. 答案 C 3．若直线2x－y＋a＝0与圆(x－1)2＋y2＝1有公共点，则实数a的取值范围(　　)． A．－2－＜a＜－2＋ B．－2－≤a≤－2＋ C．－≤a≤ D．－＜a＜ 解析　若直线与圆有公共点，即直线与圆相交或相切，故有≤1， 解得－2－≤a≤－2＋. 答案　B 4．设两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|＝(　　)． A．4 B．4 C．8 D．8 解析　设与两坐标轴都相切的圆的方程为(x－a)2＋(y－a)2＝a2，将点(4,1)代入得a2－10a＋17＝0，解得a＝5±2，设C1(5－2，5－2)，则C2(5＋2，5＋2)，则|C1C2|＝＝8. 答案　C 5．直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是(　　)． A. B. C. D. 解析　如图，若|MN|＝2，则由圆与直线的位置关系 可知圆心到直线的距离满足d2＝22－()2＝1.∵ 直线方程为y＝kx＋3，∴d＝＝1，解得 k＝±.若|MN|≥2，则－≤k≤. 答案　B 6．若圆(x－a)2＋(y－b)2＝b2＋1始终平分圆(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的周长，则a，b满足的关系是(　　) A．a2＋2a＋2b－3＝0 B．a2＋b2＋2a＋2b＋5＝0 C．a2＋2a＋2b＋5＝0 D．a2－2a－2b＋5＝0 解析 即两圆的公共弦必过(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的圆心， 两圆相减得相交弦的方程为－2(a＋1)x－2(b＋1)y＋a2＋1＝0， 将圆心坐标(－1，－1)代入可得a2＋2a＋2b＋5＝0. 答案　C 7.直线
与圆
相交于
两点，若
，则
的取值范围是（ ） A．
B．
C．
D．

答案　B 二、填空题 8．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被圆C截得的弦长为2，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为________． 解析 由题可知，设圆心的坐标为(a,0)，a>0，则圆C的半径为|a－1|，圆心到直线l的距离为，根据勾股定理可得，()2＋()2＝|a－1|2，解得a＝3或a＝－1(舍去)，所以圆C的圆心坐标为(3,0)，则过圆心且与直线l垂直的直线的方程为x＋y－3＝0. 答案 x＋y－3＝0 9．过点(－1，－2)的直线l被圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦长为，则直线l的斜率为________． 解析　将圆的方程化成标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，其圆心为(1,1)，半径r＝1.由弦长为得弦心距为.设直线方程为y＋2＝k(x＋1)，即kx－y＋k－2＝0，∴＝，化简得7k2－24k＋17＝0，∴k＝1或k＝. 答案　1或 10．已知直线x＋y＋m＝0与圆x2＋y2＝2交于不同的两点A、B，O是坐标原点，|＋| ≥||，那么实数m的取值范围是________． 解析 方法1：将直线方程代入圆的方程得2x2＋2mx＋m2－2＝0，Δ＝4m2－8(m2－2)>0得m2<4，即－22，b>2)． (1)求证：(a－2)(b－2)＝2； (2)求线段AB中点的轨迹方程； (3)求△AOB面积的最小值． 解析 (1)证明：圆的标准方程是(x－1)2＋(y－1)2＝1，设直线方程为＋＝1，即bx＋ay－ab＝0，圆心到该直线的距离d＝＝1， 即a2＋b2＋a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝a2＋b2，即a2b2＋2ab－2a2b－2ab2＝0， 即ab＋2－2a－2b＝0，即(a－2)(b－2)＝2. (2)设AB中点M(x，y)，则a＝2x，b＝2y，代入(a－2)(b－2)＝2， 得(x－1)(y－1)＝(x>1，y>1)． (3)由(a－2)(b－2)＝2得ab＋2＝2(a＋b)≥4， 解得≥2＋(舍去≤2－)， 当且仅当a＝b时，ab取最小值6＋4， 所以△AOB面积的最小值是3＋2. 16．已知圆C的方程为x2＋y2＝4. (1)求过点P(1,2)且与圆C相切的直线l的方程； (2)直线l过点P(1,2)，且与圆C交于A、B两点，若|AB|＝2，求直线l的方程； (3)圆C上有一动点M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求动点Q的轨迹方程，并说明此轨迹是什么曲线． 解析　(1)显然直线l的斜率存在，设切线方程为y－2＝k(x－1)， 则由＝2，得k1＝0，k2＝－， 从而所求的切线方程为y＝2和4x＋3y－10＝0. (2)当直线l垂直于x轴时，此时直线方程为x＝1，l与圆的两个交点坐标为(1，)和(1，－)，这两点的距离为2，满足题意；当直线l不垂直于x轴时，设其方程为y－2＝k(x－1)， 即kx－y－k＋2＝0，设圆心到此直线的距离为d(d＞0)，则2＝2， 得d＝1，从而1＝，得k＝，此时直线方程为3x－4y＋5＝0， 综上所述，所求直线方程为3x－4y＋5＝0或x＝1. (3)设Q点的坐标为(x，y)，M点坐标是(x0，y0)，＝(0，y0)， ∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0)?x＝x0，y＝2y0. ∵x＋y＝4，∴x2＋2＝4，即＋＝1. ∴Q点的轨迹方程是＋＝1，轨迹是一个焦点在y轴上的椭圆．

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