9.5 椭圆
一、选择题
1．椭圆＋＝1的离心率为( )
A. B.
C. D.
解析 ∵a2＝16，b2＝8，∴c2＝8.
∴e＝＝.
答案 D
2．中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是( )．
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解析 依题意知：2a＝18，∴a＝9,2c＝×2a，∴c＝3，
∴b2＝a2－c2＝81－9＝72，∴椭圆方程为＋＝1.
答案 A
3．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 先将x2＋4y2＝1化为标准方程＋＝1，则a＝1，b＝，c＝＝.离心率e＝＝.
答案 A
4．设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，P是第一象限内该椭圆上的一点，且PF1⊥PF2，则点P的横坐标为( )．
A．1 B. C．2 D.
解析 由题意知，点P即为圆x2＋y2＝3与椭圆＋y2＝1在第一象限的交点，解方程组得点P的横坐标为.
答案 D
5. 椭圆的中心为点，它的一个焦点为，相应于焦点的准线方程为，则这个椭圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
答案 D
6．若P是以F1，F2为焦点的椭圆＋＝1(a＞b＞0)上的一点，且·＝0，tan∠PF1F2＝，则此椭圆的离心率为( )．
A. B. C. D.
解析 在Rt△PF1F2中，设|PF2|＝1，则|PF2|＝2.|F1F2|＝，∴e＝＝.
答案 A
7．椭圆＋＝1(a>b>0)的两顶点为A(a,0)，B(0，b)，且左焦点为F，△FAB是以角B为直角的直角三角形，则椭圆的离心率e为( )
A. B.
C. D.
解析 根据已知a2＋b2＋a2＝(a＋c)2，即c2＋ac－a2＝0，即e2＋e－1＝0，解得e＝，故所求的椭圆的离心率为.
答案 B
二、填空题
8．设F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，P为椭圆上一点，M是F1P的中点，|OM|＝3，则P点到椭圆左焦点的距离为________．
解析 由题意知|OM|＝|PF2|＝3，∴|PF2|＝6.∴|PF1|＝2×5－6＝4.
答案 4
9．以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆有四个不同的交点，顺次连接这四个点和两个焦点，恰好得到一个正六边形，那么椭圆的离心率等于________．
解析 如图所示，设A，B是椭圆的两个焦点，P是圆与椭圆的一个交点，则由正六边形的性质，△PAB是一个直角三角形，且∠BAP＝30°，所以AP＝ABcos30°＝c，BP＝c，根据椭圆定义AP＋BP＝2a，故c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1.
答案 －1
10．若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．
解析 由题可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，
即2kx－2y－2k＋1＝0，
由＝1，
解得k＝－，
所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，
求得切点A，
易知另一切点B(1,0)，
则直线AB的方程为y＝－2x＋2.
令y＝0得右焦点为(1,0)，
令x＝0得上顶点为(0,2)．
∴a2＝b2＋c2＝5，
故得所求椭圆方程为＋＝1.
答案 ＋＝1
11．已知F1(－c,0)，F2(c,0)为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点，P为椭圆上一点且·＝c2，则此椭圆离心率的取值范围是________．
解析 设P(x，y)，则·＝(－c－x，－y)·
(c－x，－y)＝x2－c2＋y2＝c2①
将y2＝b2－x2代入①式解得x2＝，
又x2∈[0，a2]，∴2c2≤a2≤3c2，∴e＝∈.
答案
12. 椭圆=1的焦点为F1和F2，点P在椭圆上.如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是|PF2|的_____倍．
解析 不妨设F1（－3，0），F2（3，0）由条件得P（3，±），即|PF2|=，|PF1|=，因此|PF1|=7|PF2|.
答案 7
三、解答题
13．设F1，F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点．
(1)若P是第一象限内该椭圆上的一点，且·＝－，求点P的坐标；
(2)设过定点M(0,2)的直线l与椭圆交于不同的两点A，B，且∠AOB为锐角(其中O为原点)，求直线l斜率k的取值范围．
解析 (1)由题意知a＝2，b＝1，c＝，
所以F1(－，0)，F2(，0)．
设P(x，y)(x>0，y>0)，
＝(－－x，－y)，＝(－x，－y)．
由·＝－，得x2＋y2－3＝－.
联立解得点P(1，)．
(2)可设l的方程为y＝kx＋2，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
将y＝kx＋2代入椭圆方程，
得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0.
由Δ＝(16k)2－4·(1＋4k2)·12>0，得k2>. ①
又y1·y2＝(kx1＋2)(kx2＋2)＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4，∵∠AOB为锐角，
所以·>0，即x1x2＋y1y2>0.
即(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＝＋2k(－)＋4＝>0.
所以－
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