9.6 双曲线
一、选择题
1．已知F1，F2是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点P在双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）
A．4＋2 B.－1
C. D.＋1
解析 (数形结合法)因为MF1的中点P在双曲线上，
|PF2|－|PF1|＝2a，△MF1F2为正三角形，边长都是2c，所以c－c＝2a，
所以e＝＝＝＋1，故选D.
答案 D
2. 已知双曲线C ：-=1的焦距为10 ，点P （2,1）在C 的渐近线上，则C的方程为（ ）
A．-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1
答案 A
3．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为( )．
A．4 B．3 C．2 D．1
解析 双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2.
答案 C
4．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为( )．
A. B. C．2 D．3
解析 设双曲线C的方程为－＝1，焦点F(－c,0)，将x＝－c代入－＝1可得y2＝，所以|AB|＝2×＝2×2a，∴b2＝2a2，c2＝a2＋b2＝3a2，∴e＝＝.
答案 B
5．设F1、F2是双曲线－y2＝1的两个焦点，P在双曲线上，当△F1PF2的面积为2时，·的值为( )
A．2 B．3
C．4 D．6
解析 设点P(x0，y0)，依题意得，|F1F2|＝2＝4，
S△PF1F2＝|F1F2|×|y0|＝2|y0|＝2，|y0|＝1，－y＝1，x＝3(y＋1)＝6，
·＝(－2－x0，－y0)·(2－x0，－y0)＝x＋y－4＝3.
答案 B
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左顶点与抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的交点坐标为(－2，－1)，则双曲线的焦距为( )．
A．2 B．2 C．4 D．4
解析 由题意得??
c＝＝.∴双曲线的焦距2c＝2.
答案 B
7．如图，已知点P为双曲线－＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心，若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为( )
A. B.
C. D.
解析 根据S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2，即|PF1|＝|PF2|＋λ|F1F2|，
即2a＝λ2c，即λ＝＝.
答案 B
二、填空题
8．双曲线－＝1的右焦点到渐近线的距离是________．
解析 由题意得：双曲线－＝1的渐近线为y＝±x.
∴焦点(3,0)到直线y＝±x的距离为＝.
答案
9．已知双曲线－＝1左、右焦点分别为F1、F2，过点F2作与x轴垂直的直线与双曲线一个交点为P，且∠PF1F2＝，则双曲线的渐近线方程为________．
解析 根据已知|PF1|＝且|PF2|＝，故－＝2a，所以＝2，＝.
答案 y＝±x
10.已知双曲线的两条渐近线均和圆:相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为____________．
c=3,所以b=2,即,所以该双曲线的方程为.
答案
11．如图，已知双曲线以长方形ABCD的顶点A、B为左、右焦点，且双曲线过C、D两顶点．若AB＝4，BC＝3，则此双曲线的标准方程为________．
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0，b＞0)．由题意得B(2,0)，C(2,3)，
∴解得
∴双曲线的标准方程为x2－＝1.
答案 x2－＝1
12．已知点(2,3)在双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)上，C的焦距为4，则它的离心率为________．
解析 根据点(2,3)在双曲线上，可以很容易建立一个关于a，b的等式，即－＝1，考虑到焦距为4，这也是一个关于c的等式，2c＝4，即c＝2.再有双曲线自身的一个等式a2＋b2＝c2，这样，三个方程，三个未知量，可以解出a＝1，b＝，c＝2，所以，离心率e＝2.
答案 2
三、解答题
13．已知双曲线E的中心为原点，F(3,0)是E的焦点，过F的直线l与E相交于A，B两点，且AB的中点为N(－12，－15)，则E的方程．
解析 设双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)，
由题意知c＝3，a2＋b2＝9，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有：
两式作差得：
＝＝＝，
又AB的斜率是＝1，
所以将4b2＝5a2代入a2＋b2＝9得
a2＝4，b2＝5.
所以双曲线的标准方程是－＝1.
14．求适合下列条件的双曲线方程．
(1)焦点在y轴上，且过点(3，－4)、.
(2)已知双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0，且双曲线经过点P(，2)．
解析 (1)设所求双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则因为点(3，－4)，在双曲线上，
所以点的坐标满足方程，由此得
令m＝，n＝，则方程组化为
解方程组得
∴a2＝16，b2＝9.所求双曲线方程为－＝1.
(2)由双曲线的渐近线方程y＝±x，
可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点P(，2)，∴－＝λ，λ＝－，
故所求双曲线方程为y2－x2＝1.
15．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为.
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解析 (1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，
即bx－2y＝0，∴＝，
∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，
则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，
将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，
∴∴
∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
16．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：·＝0；
(3)求△F1MF2的面积．
解析 (1) ∵e＝，∴设双曲线方程为x2－y2＝λ.
又∵双曲线过(4，－)点，∴λ＝16－10＝6，
∴双曲线方程为x2－y2＝6.
(2)证明 法一 由(1)知a＝b＝，c＝2，
∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，
∴kMF1·kMF2＝＝，又点(3，m)在双曲线上，
∴m2＝3，
∴kMF1·kMF2＝－1，MF1⊥MF2，·＝0.
法二 ∵＝(－3－2，－m)，＝(2－3，－m)，
∴·＝(3＋2)(3－2)＋m2＝－3＋m2.
∵M在双曲线上，∴9－m2＝6，
∴m2＝3，∴·＝0.
(3) ∵△F1MF2中|F1F2|＝4，且|m|＝，
∴S△F1MF2＝·|F1F2|·|m|＝×4×＝6.
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