9.7 抛物线
一、选择题
1．抛物线x2＝(2a－1)y的准线方程是y＝1，则实数a＝( )
A. B. C．－ D．－
解析 根据分析把抛物线方程化为x2＝－2y，则焦参数p＝－a，
故抛物线的准线方程是y＝＝，则＝1，解得a＝－.
答案 D
2．若抛物线y2＝2px(p>0)的焦点在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，则p＝( )
A. B．1
C．2 D．3
解析 ∵抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为(，0)在圆x2＋y2＋2x－3＝0上，∴＋p－3＝0，解得p＝2或p＝－6(舍去)．
答案 C
3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为( )．
A. B．1 C．2 D．4
解析 抛物线y2＝2px(p＞0)的准线为x＝－，圆x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，则圆心为(3,0)，半径为4；又因抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋＝4，解得p＝2.
答案 C
4．已知直线l过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|＝12，P为C的准线上一点，则△ABP的面积为( )．
A．18 B．24 C．36 D．48
解析 如图，设抛物线方程为
y2＝2px(p＞0)．
∵当x＝时，|y|＝p，
∴p＝＝＝6.
又P到AB的距离始终为p，
∴S△ABP＝×12×6＝36.
答案 C
5. 过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点，点是原点，若,则的面积为（ ）
A． B． C． D．
答案 C
6．将两个顶点在抛物线y2＝2px(p＞0)上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则( )．
A．n＝0 B．n＝1
C．n＝2 D．n≥3
解析 结合图象可知，过焦点斜率为和－的直线与抛物线各有两个交点，所以能够构成两组正三角形．本题也可以利用代数的方法求解，但显得有些麻烦．
答案 C
7．已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为( )
A. B．3 C. D.
解析 依题设P在抛物线准线的投影为P′，抛物线的焦点为F，则F.依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP′|＝|PF|，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和d＝|PF|＋|PA|≥|AF|＝＝.
答案 A
二、填空题
8．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．
解析 设抛物线的焦点F，由B为线段FA的中点，所以B，代入抛物线方程得p＝，则B到该抛物线准线的距离为＋＝＝.
答案
9．已知动圆过点(1,0)，且与直线x＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________．
解析 设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1,0)的距离与其到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2＝4x.
答案 y2＝4x
10．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，N为抛物线上的一点，且满足|NF|＝|MN|，则∠NMF＝________.
解析 过N作准线的垂线，垂足是P，则有PN＝NF，∴PN＝MN，∠NMF＝∠MNP.又cos∠MNP＝，
∴∠MNP＝，即∠NMF＝.
答案
11．设圆C位于抛物线y2＝2x与直线x＝3所围成的封闭区域(包含边界)内，则圆C的半径能取到的最大值为________．
解析 依题意，结合图形的对称性可知，要使满足题目约束条件的圆的半径最大，圆心位于x轴上时才有可能，可设圆心坐标是(a,0)(0＜a＜3)，则由条件知圆的方程是(x－a)2＋y2＝(3－a)2.由消去y得x2＋2(1－a)x＋6a－9＝0，结合图形分析可知，当Δ＝[2(1－a)]2－4(6a－9)＝0且0＜a＜3，即a＝4－时，相应的圆满足题目约束条件，因此所求圆的最大半径是3－a＝－1.
答案 －1
12. 过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，若则= 。
答案
三、解答题
13．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C的顶点在原点，经过点A(2,2)，其焦点F在x轴上．
(1)求抛物线C的标准方程；
(2)设直线l是抛物线的准线，求证：以AB为直径的圆与准线l相切．
解析 (1)设抛物线y2＝2px(p>0)，将点(2,2)代入得p＝1.
∴y2＝2x为所求抛物线的方程．
(2)证明：设lAB的方程为：x＝ty＋，代入y2＝2x得：y2－2ty－1＝0，设AB的中点为M(x0，y0)，则y0＝t，x0＝.
∴点M到准线l的距离d＝x0＋＝＋＝1＋t2.又AB＝2x0＋p＝1＋2t2＋1＝2＋2t2，∴d＝AB，故以AB为直径的圆与准线l相切．
14．抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为135°的直线，被抛物线所截得的弦长为8，试求该抛物线的方程．
解析 依题意，设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，
则直线方程为y＝－x＋p.
设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，
过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D，
则由抛物线定义得
|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|
＝x1＋＋x2＋，
即x1＋x2＋p＝8.①
又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，
由消去y，
得x2－3px＋＝0，所以x1＋x2＝3p.
将其代入①得p＝2，所以所求抛物线方程为y2＝4x.
当抛物线方程设为y2＝－2px(p＞0)时，
同理可求得抛物线方程为y2＝－4x.
综上，所求抛物线方程为y2＝4x或y2＝－4x.
【点评】 ?1?根据问题的条件，抛物线方程可能是y2＝2px?p＞0?，也可能是y2＝－2px?p＞0?，任何一种情况都不要漏掉.?
2?要由定“性”和“量”两个方面来确定抛物线的方程.定“性”，即确定开口方向，便于设抛物线的方程.定“量”，即求所设方程中的参数p.
15．设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F，Q是抛物线上除顶点外的任意一点，直线QO交准线于P点，过Q且平行于抛物线对称轴的直线交准线于R点，求证：·＝0.
证明 y2＝2px(p＞0)的焦点F准线为x＝－.
设Q(x0，y0)(x0≠0)，则R，
直线OQ的方程为y＝x，此直线交准线x＝－于P点，
易求得P.∴y＝2px0，
∴·＝·(p，－y0)＝p2－＝p2－p2＝0.
16．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．
(1)写出该抛物线的方程及其准线方程；
(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，求y1＋y2的值及直线AB的斜率．
解析 (1)由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)．
∵点P(1,2)在抛物线上，∴22＝2p×1，解得p＝2.
故所求抛物线的方程是y2＝4x，准线方程是x＝－1.
(2)设直线PA的斜率为kPA，直线PB的斜率为kPB，
则kPA＝(x1≠1)，kPB＝(x2≠1)，
∵PA与PB的斜率存在且倾斜角互补，∴kPA＝－kPB.
由A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上，得
y＝4x1，①
y＝4x2，②
∴＝－，∴y1＋2＝－(y2＋2)．
∴y1＋y2＝－4.
由①－②得，y－y＝4(x1－x2)，
∴kAB＝＝＝－1(x1≠x2)．
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