第八章　章末检测 (时间：120分钟　满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．(2010·山东)在空间中，下列命题正确的是(　　) A．平行直线的平行投影重合 B．平行于同一直线的两个平面平行 C．垂直于同一平面的两个平面平行 D．垂直于同一平面的两条直线平行 2．(2011·聊城模拟)设m、n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题： ①?β∥γ； ②?m⊥β； ③?α⊥β； ④?m∥α. 其中真命题的序号是(　　) A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 3．(2010·福建)
如图，若Ω是长方体ABCD－A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是(　　) A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形 C．Ω是棱柱 D．Ω是棱台 4．正四面体的内切球与外接球的半径之比为(　　) A．1∶3 B．1∶9 C．1∶27 D．1∶81 5．(2011·广东)如图所示，某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为(　　)
A．6 B．9 C．12 D．18 6．(2011·舟山月考)若一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的全面积与侧面积的比为(　　) A. B. C. D. 7.
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，O是底面A1B1C1D1的中心，则O到平面ABC1D1的距离为(　　) A. B. C. D. 8．(2011·四川)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是(　　) A．l1⊥l2，l2⊥l3?l1∥l3 B．l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3 C．l1∥l2∥l3?l1，l2，l3共面 D．l1，l2，l3共点?l1，l2，l3共面 9．(2011·临沂模拟)某几何体的三视图如图，则该几何体的体积的最大值为(　　)
A. B. C. D. 10．设P是60°的二面角α—l—β内一点，PA⊥平面α，PB⊥平面β，A、B分别为垂足，PA＝4，PB＝2，则AB的长是(　　) A．2 B．2 C．2 D．4 11．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面三角形的边长是a，D，E分别是BB1，CC1上的点，且EC＝BC＝2BD，则平面ADE与平面ABC的夹角的大小为(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 12．(2011·丽水月考)
如图所示，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和.过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB∶A′B′等于(　　) A．2∶1 B．3∶1 C．3∶2 D．4∶3 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．如图，是△AOB用斜二测画法画出的直观图△A′O′B′，则△AOB的面积是________．
14.
如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H，N分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC，BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则点M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1. 15．(2011·上海)若圆锥的侧面积为2π，底面面积为π，则该圆锥的体积为________． 16．(2011·阳江月考)正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO＝OD，则直线BC与平面PAC所成的角是________． 三、解答题(本大题共6小题，共70分) 17．(10分)有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5、圆心角为的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱． (1)求圆锥的体积； (2)当x为何值时，圆柱的侧面积最大？ 18．(12分)已知在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，沿对角线AC折叠，使面ABC与面ADC垂直，求B、D间的距离．
19．(12分)(2011·陕西)如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，∠BAC＝90°，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC＝90°. (1)证明：平面ADB⊥平面BDC； (2)设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．
20．(12分)(2011·广州模拟)
如图，A1A是圆柱的母线，AB是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上异于A，B的任意一点，A1A＝AB＝2. (1)求证：BC⊥平面AA1C； (2)求三棱锥A1—ABC的体积的最大值．
21．(12分)(2011·重庆)如图，在四面体ABCD中，平面ABC⊥平面ACD，AB⊥BC，AD＝CD，∠CAD＝30°. (1)若AD＝2，AB＝2BC，求四面体ABCD的体积． (2)若二面角C－AB－D为60°，求异面直线AD与BC所成角的余弦值．
22．(12分)(2011·北京)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，AB＝2，∠BAD＝60°. (1)求证：BD⊥平面PAC； (2)若PA＝AB，求PB与AC所成角的余弦值； (3)当平面PBC与平面PDC垂直时，求PA的长． 第八章　章末检测 1．D　2.C　3.D　4.A 5．B　[由三视图可还原几何体的直观图如图所示．
此几何体可通过分割和补形的方法拼凑成一个长和宽均为3，高为的平行六面体，所求体积V＝3×3×＝9.] 6．A　7.B 8．B　[当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1也可能与l3相交或异面，故A不正确；l1⊥l2，l2∥l3?l1⊥l3，故B正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三条侧棱，故C不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故D不正确．] 9．D　10.C　11.B　12.A 13．16　14.M∈线段FH　15.π　16.30° 17．解　(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5，所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r， 则2πr＝5×，解得r＝3.(2分) 所以圆锥的高为4. 从而圆锥的体积V＝πr2×4＝12π.(4分)
(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形． 设圆柱的底面半径为a， 则＝，从而a＝3－x.(6分) 圆柱的侧面积S(x)＝2π(3－x)x ＝π(4x－x2)＝π[4－(x－2)2](00)，则＝(－1，－，t)． 设平面PBC的法向量m＝(x，y，z)， 则·m＝0，·m＝0. 所以 令y＝，则x＝3，z＝.所以m＝(3，，)． 同理，平面PDC的法向量n＝(－3，，)． (10分) 因为平面PBC⊥平面PDC， 所以m·n＝0，即－6＋＝0， 解得t＝.所以PA＝.(12分)

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