第六章 章末检测
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1．(2011·茂名月考)已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是 ( )
A．15 B．30 C．31 D．64
2．各项均不为零的等差数列{an}中，若a－an－1－an＋1＝0 (n∈N*，n≥2)，则S2 010等( )
A．0 B．2 C．2 009 D．4 020
3．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－4n＋2，则|a1|＋|a2|＋…＋|a10|等于 ( )
A．66 B．65 C．61 D．56
4．(2011·南阳模拟)等比数列{an}中，Tn表示前n项的积，若T5＝1，则 ( )
A．a1＝1 B．a3＝1 C．a4＝1 D．a5＝1
5．(2010·东北师大附中高三月考)由a1＝1，an＋1＝给出的数列{an}的第34项( )
A. B．100 C. D.
6．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－9n，第k项满足5S7>S5，有下列四个命题：①d<0；②S11>0；③S12<0；④数列{Sn}中的最大项为S11.
其中正确的命题是________．(将所有正确的命题序号填在横线上)
三、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．(10分)(2011·德州模拟)设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a4－a2＝8，S10＝190.
(1)求数列{an}的通项公式an；
(2)设p，q∈N*，试判断ap·aq是否仍为数列{an}中的项并说明理由．
18．(12分)在等差数列{an}中，若a3＋a8＋a13＝12，a3a8a13＝28，求数列{an}的通项公式．
19．(12分)(2011·武汉月考)已知数列{an}的前n项和为Sn，且向量a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线．
(1)求证：数列{an}是等差数列；
(2)求数列的前n项和Tn.
20．(12分)(2011·唐山月考)已知f(x)＝logax(a>0且a≠1)，设f(a1)，f(a2)，…，f(an) (n∈N*)是首项为4，公差为2的等差数列．
(1)设a为常数，求证：{an}成等比数列；
(2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n项和是Sn，当a＝时，求Sn.
21．(12分)(2011·周口月考)已知数列{an}的前三项与数列{bn}的前三项相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8n对任意n∈N*都成立，数列{bn＋1－bn}是等差数列．
(1)求数列{an}与{bn}的通项公式；
(2)是否存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)？请说明理由．
22．(12分)为了治理“沙尘暴”，西部某地区政府经过多年努力，到2006年底，将当地沙漠绿化了40%，从2007年开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲(被绿化的部分叫绿洲)，同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过50%？(可参考数据lg 2＝0.3，最后结果精确到整数)
答案 1．A [由{an}是等差数列知a7＋a9＝2a8＝16，∴a8＝8.又a4＝1，∴a12＝2a8－a4＝15.]
2．D [a＝an－1＋an＋1＝2an，an≠0，∴an＝2.
∴Sn＝2n，S2 010＝2×2 010＝4 020.]
3．A [当n＝1时，a1＝S1＝－1；
当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝n2－4n＋2－[(n－1)2－4(n－1)＋2]＝2n－5，
∴a2＝－1，a3＝1，a4＝3，…，a10＝15，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a10|
＝1＋1＋＝2＋64＝66.]
4．B [因为{an}是等比数列，所以a1·a5＝a2·a4＝a，代入已知式T5＝1，得a＝1，所以a3＝1.]
5．C [由an＋1＝知，＝＋3，
∴是以1为首项，公差为3的等差数列．
∴＝1＋(n－1)×3＝3n－2.
∴an＝，a34＝＝.]
6．B [∵Sn＝n2－9n，
∴n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－10，
a1＝S1＝－8适合上式，
∴an＝2n－10 (n∈N*)，
∴5<2k－10<8，得7.50(显然tan B≠0，若tan B<0，因为tan A>0且tan C>0，tan A＋tan C>0，这与tan B<0矛盾)，
又tan B＝－tan(A＋C)＝－
＝－≠0，所以tan Atan C＝3.
又∵tan A＋tan C≥2＝2，
∴tan B≥，∵B∈(0，π)
∴B的取值范围是.]
12．D [由题意知Sn＝X，S2n＝Y，S3n＝Z.
又∵{an}是等比数列，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n为等比数列，
即X，Y－X，Z－Y为等比数列，
∴(Y－X)2＝X·(Z－Y)，
即Y2－2XY＋X2＝ZX－XY，
∴Y2－XY＝ZX－X2，
即Y(Y－X)＝X(Z－X)．]
13．624
解析 an＝＝－.
∴(－1)＋(－)＋…＋(－)＝24，
∴＝25，∴n＝624.
14．52
解析 ∵log2(a5＋a9)＝3，∴a5＋a9＝23＝8.
∴S13＝＝＝＝52.
15．34 950
解析 由“第n组有n个数”的规则分组中，各组数的个数构成一个以1为首项，1为公差的等差数列，前99组数的个数共有＝4 950个，故第100组中的第1个数是34 950.
16．①②
解析 由S6>S7得a7<0，
由S6>S5得a6>0，
由S7>S5得a6＋a7>0.
因为d＝a7－a6，∴d<0；
S11＝a1＋a2＋…＋a11＝(a1＋a11)＋(a2＋a10)＋…＋a6＝11a6>0，S12＝a1＋a2＋…＋a12＝(a1＋a12)＋(a2＋a11)＋…＋(a6＋a7)＝6(a6＋a7)>0；
∵a6>0，a7<0，∴{Sn}中S6最大．
故正确的命题为①②.
17．解 (1)设数列{an}的首项为a1，公差为d，则
，………………………………………………………………(4分)
解得a1＝1，d＝4，∴an＝4n－3.………………………………………………………(6分)
(2)apaq＝(4p－3)(4q－3)＝16pq－12(p＋q)＋9
＝4[4pq－3(p＋q)＋3]－3，
∵4pq－3(p＋q)＋3∈N*，………………………………………………………………(8分)
∴ap·aq为数列{an}中的项．……………………………………………………………(10分)
18．解 ∵a3＋a13＝2a8，a3＋a8＋a13＝12，
∴a8＝4，…………………………………………………………………………………(2分)
则由已知得
解得或…………………………………………………………(7分)
由a3＝1，a13＝7，
可知d＝＝＝.
故an＝a3＋(n－3)·＝n－；……………………………………………………………(9分)
由a3＝7，a13＝1，
可知d＝＝＝－.
故an＝a3＋(n－3)·
＝－n＋.……………………………………………………………………………(11分)
综上可得，an＝n－，或an＝－n＋.……………………………………………(12分)
19．(1)证明 ∵a＝(n，Sn)，b＝(4，n＋3)共线，
∴n(n＋3)－4Sn＝0，∴Sn＝.……………………………………………………(3分)
∴a1＝S1＝1，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，……………………………………………………(5分)
又a1＝1满足此式，∴an＝.………………………………………………………(6分)
∴an＋1－an＝为常数，
∴数列{an}为首项为1，公差为的等差数列．………………………………………(7分)
(2)解 ∵＝＝2，…………………………………………………(9分)
∴Tn＝＋＋…＋.
＝2＋2＋…＋2＝.……………………………………(12分)
20．(1)证明 f(an)＝4＋(n－1)×2＝2n＋2，…………………………………………(2分)
即logaan＝2n＋2，可得an＝a2n＋2.
∴＝＝
＝a2 (n≥2)为定值．………………………………………………………………………(4分)
∴{an}为以a2为公比的等比数列．……………………………………………………(5分)
(2)解 bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2
＝(2n＋2)a2n＋2.…………………………………………………………………………(7分)
当a＝时，bn＝(2n＋2)()2n＋2
＝(n＋1)2n＋2.
Sn＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋(n＋1)·2n＋2，①
2Sn＝2·24＋3·25＋4·26＋…＋n·2n＋2＋(n＋1)·2n＋3，②
①－②，得
－Sn＝2·23＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)·2n＋3 …………………………………………(9分)
＝16＋－(n＋1)·2n＋3
＝16＋2n＋3－24－n·2n＋3－2n＋3＝－n·2n＋3.
∴Sn＝n·2n＋3.……………………………………………………………………………(12分)
21．解 (1)已知得a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an
＝8n(n∈N*)，①
当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8(n－1)．②
由①－②，得2n－1an＝8.∴an＝24－n.……………………………………………………(3分)
在①中，令n＝1，得a1＝8＝24－1，
∴an＝24－n(n∈N*)．
由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，
∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2，
∴数列{bn＋1－bn}的公差为－2－(－4)＝2.
∴bn＋1－bn＝－4＋(n－1)×2＝2n－6.…………………………………………………(5分)
∴bn＝b1＋(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)
＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n－8)
＝n2－7n＋14(n∈N*)．…………………………………………………………………(7分)
(2)∵bk－ak＝k2－7k＋14－24－k，
设f(k)＝k2－7k＋14－24－k，
当k≥4时，f(k)＝(k－)2＋－24－k，单调递增，
且f(4)＝1.
∴k≥4时，f(k)＝k2－7k＋4－24－k≥1.…………………………………………………(10分)
又f(1)＝f(2)＝f(3)＝0，…………………………………………………………………(11分)
∴不存在k∈N*，使得(bk－ak)∈(0,1)．………………………………………………(12分)
22．解 设该地区总面积为1,2006年底绿化面积为a1＝，经过n年后绿洲面积为an＋1，设2006年底沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn＋1，则a1＋b1＝1，an＋bn＝1.…(3分)
依题意an＋1由两部分组成：一部分是原有绿洲an减去被侵蚀的部分8%·an的剩余面积92%·an，另一部分是新绿化的12%·bn，
∴an＋1＝92%·an＋12%(1－an)
＝an＋，………………………………………………………………………………(6分)
即an＋1－＝(an－)．
∴{an－}是以－为首项，为公比的等比数列，
则an＋1＝－·()n.………………………………………………………………………(9分)
∵an＋1>50%，∴－·()n>.
∴()n<，n>＝≈3.……………………………………………………(11分)
则当n≥4时，不等式()n<恒成立．
∴至少需要4年才能使绿化面积超过50%.…………………………………………(12分)
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