第十三章　选修系列4 学案73　几何证明选讲 (一)相似三角形的判定及有关性质 导学目标： 1.了解平行线等分线段定理和平行线分线段成比例定理；2.掌握相似三角形的判定定理及性质定理；3.理解直角三角形射影定理．

自主梳理
1．平行线等分线段定理 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在任一条(与这组平行线相交的)直线上截得的线段也相等． 2．平行线分线段成比例定理 两条直线与一组平行线相交，它们被这组平行线截得的对应线段__________． 推论1　平行于三角形一边的直线截其他两边(或________________)，所得的对应线段__________． 推论2　平行于三角形的一边，并且和其他两边________的直线所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应________． 推论3　三角形的一个内角平分线分对边所得的两条线段与这个角的两边对应成比例． 3．相似三角形的判定 判定定理1　对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应________的两个三角形相似． 判定定理2　对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且____________相等的两个三角形相似． 判定定理3　对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例的两个三角形相似． 4．相似三角形的性质 (1)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比； (2)相似三角形周长的比等于相似比； (3)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 5．直角三角形射影定理 直角三角形一条直角边的平方等于该直角边在____________与斜边的______，斜边上的高的________等于两条直角边在斜边上的射影的乘积．
自我检测
1．如果梯形的中位线的长为6 cm，上底长为4 cm，那么下底长为________cm.
2．如图，在△ABC中，ED∥BC，EF∥BD，则下列四个结论正确的是(填序号)________． ①＝；②＝；③＝；④＝.
3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，CD＝2，BD＝3，则AC＝________. 4．如图所示，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，则BD＝________cm.
　　　
　　　 第4题图　　　　　　第5题图 5．(2011·陕西)如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
探究点一　确定线段的n等分点
例1
　已知线段PQ，在线段PQ上求作一点D，使PD∶DQ＝2∶1. 变式迁移1　已知△ABC，D在AC上，AD∶DC＝2∶1，能否在AB上找到一点E，使得线段EC的中点在BD上． 探究点二　平行线分线段成比例定理的应用
例2
　在△ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD＝CE，DE的延长线交BC的延长线于点F.求证：＝.
变式迁移2 如图，已知AB∥CD∥EF，AB＝a，CD＝b(00，舍去负根)，所以斜边的长为5，故斜边上的中线的长为. 5．15 解析　∵AD∥BC，∴＝＝＝，∴＝， ∵OE∥AD，∴＝＝， ∴OE＝AD＝×12＝， 同理可求得OF＝BC＝×20＝， ∴EF＝OE＋OF＝15. 6．2
解析　连接DE，因为AD⊥BC，所以△ADB是直角三角形，则DE＝AB＝BE＝DC.又因为DG⊥CE于G，所以DG平分CE，故EG＝2. 7．6 解析　设DE＝x，∵DE∥AC， ∴＝，解得BE＝. ∴＝＝＝. 又∵AD平分∠BAC，∴＝＝＝， 解得x＝6. 8.
解析　连接DE，延长QP交AB于N， 则 得PQ＝BC. 9．证明　由三角形的内角平分线定理得， 在△ABD中，＝，① 在△ABC中，＝，②(3分) 在Rt△ABC中，由射影定理知，AB2＝BD·BC， 即＝.③(6分) 由①③得：＝，④(9分) 由②④得：＝.(11分) 10．证明　延长AD至G，使DG＝MD，连接BG、CG. ∵BD＝DC，MD＝DG，
∴四边形BGCM为平行四边形．(4分) ∴EC∥BG，FB∥CG， ∴＝，＝， ∴＝，(8分) ∴EF∥BC.(12分) 11．证明　∵BO∥PM， ∴＝，(2分) ∵DO∥PS， ∴＝，∴＝.(4分) 即＝，由BO∥PR 得＝.(6分) 由DO∥PN得＝.(8分) ∴＝，即＝， ∴＝.∴PM·PN＝PR·PS.(12分) 学案74　几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系 导学目标： 1.理解圆周角定理，弦切角定理及其推论；2.理解圆的切线的判定及性质定理；3.理解相交弦定理，割线定理，切割线定理；4.理解圆内接四边形的性质定理及判定．

自主梳理
1．圆周角、弦切角及圆心角定理 (1)__________的度数等于其的对______的度数的一半． 推论1：________(或________)所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角__________相等． 推论2：半圆(或直径)所对的__________等于90°.反之，90°的圆周角所对的弧是________(或__________)． (2)弦切角的度数等于其所夹孤的度数的____． (3)圆心角的度数等于它所对弧的度数． 2．圆中比例线段有关定理 (1)相交弦定理：______的两条____________，每条弦被交点分成的____________的积相等． (2)切割线定理：从圆外一点引圆的一条割线和一条切线，切线长是这点到割线与圆的两个交点的线段长的____________． (3)割线定理：从圆外一点引圆的两条________，该点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 温馨提示　相交弦定理，切割线定理，割线定理揭示了与圆有关的线段间的比例关系，在与圆有关的比例线段问题的证明、计算以及证明线段或角相等等问题中应用甚广． 3．切线长定理 从________一点引圆的两条切线，__________相等． 4．圆内接四边形的性质与判定定理 (1)性质定理：圆内接四边形的对角________． 推论：圆内接四边形的任何一个外角都等于它的内角的________． (2)判定定理：如果四边形的__________，则四边形内接于____． 推论：如果四边形的一个外角等于它的____________，那么这个四边形的四个顶点________． 5．圆的切线的性质及判定定理 (1)性质定理：圆的切线垂直于经过切点的________． 推论1：经过________且________与垂直的直线必经过切点． 推论2：经过________且切线与垂直的直线必经过______________________________． (2)判定定理：过半径________且与这条半径________的直线是圆的切线．
自我检测

1．如图在Rt△ABC中，∠B＝90°，D是AB上一点，且AD＝2DB，以D为圆心，DB为半径的圆与AC相切，则sin A＝________. 2．(2010·南京模拟)如图，AB是圆O的直径，EF切圆O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC长为________．

3．(2011·湖南)如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________． 4．如图所示，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，AC交⊙O于点D，若AD＝32，CD＝18，则AB＝________.

5．(2010·揭阳模拟)如图，已知P是⊙O外一点，PD为⊙O的切线，D为切点，割线PEF经过圆心O，PF＝12，PD＝4，则圆O的半径长为________、∠EFD的度数为________.
探究点一　与圆有关的等角、等弧、等弦的判定

例1
如图，⊙O的两条弦AC，BD互相垂直，OE⊥AB，垂足为点E.求证：OE＝CD.
变式迁移1 在△ABC中，已知CM是∠ACB的平分线，△AMC的外接圆O交BC于点N；若AC＝AB，求证：BN＝3MN. 探究点二　四点共圆的判定

例2
如图，四边形ABCD中，AB、DC的延长线交于点E，AD，BC的延长线交于点F，∠AED，∠AFB的角平分线交于点M，且EM⊥FM.求证：四边形ABCD内接于圆．
变式迁移2 如图，已知AP是⊙O的切线，P为切点，AC是⊙O的割线，与⊙O交于B、C两点，圆心O在∠PAC的内部，点M是BC的中点． (1)证明：A，P，O，M四点共圆； (2)求∠OAM＋∠APM的大小． 探究点三　与圆有关的比例线段的证明

例3
如图，PA切⊙O于点A，割线PBC交⊙O于点B，C，∠APC的角平分线分别与AB，AC相交于点D，E，求证： (1)AD＝AE； (2)AD2＝DB·EC. 变式迁移3 (2010·全国)
如图，已知圆上的弧
＝
，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明： (1)∠ACE＝∠BCD； (2)BC2＝BE×CD.
1．圆周角定理与圆心角定理在证明角相等时有较普遍的应用，尤其是利用定理进行等角代换与传递． 2．要注意一些常用的添加辅助线的方法，若证明直线与圆相切，则连结直线与圆的公共点和圆心证垂直；遇到直径时，一般要引直径所对的圆周角，利用直径所对的圆周角是直角解决有关问题． 3．判断两线段是否相等，除一般方法(通过三角形全等)外，也可用等线段代换，或用圆心角定理及其推论证明． 4．证明多点共圆的常用方法： (1)证明几个点与某个定点距离相等； (2)如果某两点在某条线段的同旁，证明这两点对这条线段的张角相等； (3)证明凸四边形内对角互补(或外角等于它的内角的对角)． 5．圆中比例线段有关定理常与圆周角、弦切角联合应用，要注意在题中找相等的角，找相似三角形，从而得到线段的比．
(满分：75分)
一、填空题(每小题5分，共40分) 1．如图，已知AB，CD是⊙O的两条弦，且AB＝CD，OE⊥AB，OF⊥CD，垂足分别是E，F，则结论①
＝
，②∠AOB＝∠COD，③OE＝OF，④
＝
中，正确的有________个．
2．(2010·湖南)如图所示，过⊙O外一点P作一条直线与⊙O交于A、B两点．已知PA＝2，点P到⊙O的切线长PT＝4，则弦AB的长为________． 3．(2010·陕西)
如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm,4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则＝________.
4．(2009·广东)如图，点A，B，C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝45°，则圆O的面积为________． 5．已知PA是圆O的切线，切点为A，PA＝2，AC是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB＝1，则圆O的半径R＝________. 6．如图，圆O是△ABC的外接圆，过点C的切线交AB的延长线于点D，CD＝2，AB＝3.则BD的长为________．

7．(2011·天津)如图，已知圆中两条弦AB与CD相交于点F，E是AB延长线上一点，且DF＝CF＝，AF∶FB∶BE＝4∶2∶1.若CE与圆相切，则线段CE的长为________． 8．(2010·天津)如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，则的值为________．
二、解答题(共35分)
9．(11分)如图，三角形ABC中，AB＝AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，与AC相交于D，若AD＝CD＝1，求⊙O的半径r.
10．(12分)(2009·江苏)如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD.求证：AB∥CD. 11．(12分)(2011·江苏)如图，圆O1与圆O2内切于点A，其半径分别为r1与r2(r1>r2)．圆O1的弦AB交圆O2于点C(O1不在AB上)．求证：AB∶AC为定值．
学案74　几何证明选讲 (二)直线与圆的位置关系 自主梳理 1．(1)圆周角　弧　同弧　等弧　所对的弧　圆周角　半圆　弦为直径　(2)一半　 2.(1)圆　相交弦　两条线段长 (2)等比中项　(3)割线　3.圆外　切线长　4.(1)互补　对角　(2)对角互补　圆　内角的对角　共圆 5．(1)半径　圆心　切线　切点　圆心　(2)外端　垂直 自我检测 1. 解析　设切点为T，则DT⊥AC，AD＝2DB＝2DT， ∴∠A＝30°，sin A＝. 2．2 解析　连接CB，则∠DCA＝∠CBA，
又∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB. ∴＝. ∴AC2＝AB·AD＝2×6＝12. ∴AC＝2. 3.
解析　如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝，OD＝BD＝1，∴DF＝，∴AF＝AD－DF＝. 4．40 解析　如图，连接BD，则BD⊥AC，由射影定理知，
AB2＝AD·AC＝32×50＝1 600，故AB＝40. 5．4　30° 解析　由切割线定理得PD2＝PE·PF， ∴PE＝＝＝4，∴EF＝8，OD＝4. 又∵OD⊥PD，OD＝PO，∠P＝30°， ∠POD＝60°＝2∠EFD，∴∠EFD＝30°. 课堂活动区
例1
解题导引　(1)借用等弦或等弧所对圆周角相等，所对的圆心角相等，进行角的等量代换；同时也可借在同圆或等圆中，相等的圆周角(或圆心角)所对的弧相等，进行弧(或弦)的等量代换． (2)本题的证法是证明一条线段等于另一条线段的一半的常用方法．
证明　作直径AF，连接BF，CF，则∠ABF＝∠ACF＝90°. 又OE⊥AB，O为AF的中点， 则OE＝BF. ∵AC⊥BD， ∴∠DBC＋∠ACB＝90°， 又∵AF为直径，∠BAF＋∠BFA＝90°， ∵∠AFB＝∠ACB， ∴∠DBC＝∠BAF，即有CD＝BF. 从而得OE＝CD. 变式迁移1 证明　∵CM是∠ACB的平分线， ∴＝， 即BC＝AC·， 又由割线定理得BM·BA＝BN·BC， ∴BN·AC·＝BM·BA， 又∵AC＝AB，∴BN＝3AM， ∵在圆O内∠ACM＝∠MCN， ∴AM＝MN，∴BN＝3MN.
例2
解题导引　证明多点共圆，当它们在一条线段同侧时，可证它们对此线段张角相等，也可以证明它们与某一定点距离相等；如两点在一条线段异侧，则证明它们与线段两端点连成的凸四边形对角互补．
证明　连接EF， 因为EM是∠AEC的角平分线， 所以∠FEC＋∠FEA＝2∠FEM. 同理，∠EFC＋∠EFA＝2∠EFM. 而∠BCD＋∠BAD＝∠ECF＋∠BAD ＝(180°－∠FEC－∠EFC)＋(180°－∠FEA－∠EFA) ＝360°－2(∠FEM＋∠EFM) ＝360°－2(180°－∠EMF)＝2∠EMF＝180°， 即∠BCD与∠BAD互补． 所以四边形ABCD内接于圆． 变式迁移2 (1)证明　连接OP，OM， 因为AP与⊙O相切于点P， 所以OP⊥AP.
因为M是⊙O的弦BC的中点，所以OM⊥BC. 于是∠OPA＋∠OMA＝180°， 由圆心O在∠PAC的内部，可知四边形APOM的对角互补， 所以A，P，O，M四点共圆． (2)解　由(1)得A，P，O，M四点共圆， 所以∠OAM＝∠OPM. 由(1)得OP⊥AP. 由圆心O在∠PAC的内部， 可知∠OPM＋∠APM＝90°， 所以∠OAM＋∠APM＝90°.
例3
解题导引　寻找适当的相似三角形，把几条要证的线段集中到这些相似三角形中，再用圆中角、与圆有关的比例线段的定理找到需要的比例式，使问题得证． 证明　(1)∠AED＝∠EPC＋∠C，∠ADE＝∠APD＋∠PAB. 因PE是∠APC的角平分线，故∠EPC＝∠APD，PA是⊙O的切线，故∠C＝∠PAB. 所以∠AED＝∠ADE.故AD＝AE. (2)?△PCE∽△PAD?＝； ?△PAE∽△PBD?＝. 又PA是切线，PBC是割线?PA2＝PB·PC?＝. 故＝，又AD＝AE，故AD2＝DB·EC. 变式迁移3 证明　(1)因为
＝
，所以∠BCD＝∠ABC. 又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC， 所以∠ACE＝∠BCD. (2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD， 所以△BDC∽△ECB，故＝，即BC2＝BE×CD. 课后练习区 1．4 解析　∵在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对弦心距相等，故①②③成立，又由
＝
，得
＝
，∴④正确． 2．6 解析　连接BT，由切割线定理， 得PT2＝PA·PB， 所以PB＝8，故AB＝6. 3. 解析　＝?＝?AD＝?BD＝(cm)，＝. 4．8π 解析　连接OA，OB， ∵∠BCA＝45°， ∴∠AOB＝90°. 设圆O的半径为R，在Rt△AOB中，R2＋R2＝AB2＝16，∴R2＝8.
∴圆O的面积为8π.
5. 解析　如图，依题意，AO⊥PA，AB⊥PC，PA＝2，PB＝1，∠P＝60°， 在Rt△CAP中，有2OA＝2R＝2tan 60°＝2， ∴R＝. 6．4 解析　由切割线定理得：DB·DA＝DC2，即DB(DB＋BA)＝DC2，∴DB2＋3DB－28＝0，∴DB＝4. 7. 解析　设BE＝a，则AF＝4a，FB＝2a. ∵AF·FB＝DF·FC，∴8a2＝2，∴a＝， ∴AF＝2，FB＝1，BE＝，∴AE＝. 又∵CE为圆的切线，∴CE2＝EB·EA＝×＝. ∴CE＝. 8. 解析　∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD， ∴△PCB∽△PAD.∴＝＝. ∵＝，＝，∴＝. 9.
解　过B点作BE∥AC交圆于点E，连接AE，BO并延长交AE于F， 由题意∠ABC＝∠ACB＝∠AEB，(2分) 又BE∥AC，∴∠CAB＝∠ABE，则AB＝AC知，∠ABC＝∠ACB＝∠AEB＝∠BAE，(4分) 则AE∥BC，四边形ACBE为平行四边形． ∴BF⊥AE.又BC2＝CD×AC＝2， ∴BC＝，BF＝＝.(8分) 设OF＝x，则 解得r＝.(11分) 10．证明　由△ABC≌△BAD得∠ACB＝∠BDA，(3分) 故A、B、C、D四点共圆，(5分) 从而∠CAB＝∠CDB.(7分) 再由△ABC≌△BAD得∠CAB＝∠DBA， 因此∠DBA＝∠CDB，(10分) 所以AB∥CD.(12分) 11.
证明　如图，连接AO1并延长，分别交两圆于点E和点D.连接BD，CE.因为圆O1与圆O2内切于点A，所以点O2在AD上，故AD，AE分别为圆O1，圆O2的直径．(5分) 从而∠ABD＝∠ACE＝.(7分) 所以BD∥CE，于是＝＝＝.(10分) 所以AB∶AC为定值．(12分) 学案75　坐标系与参数方程 导学目标：1.了解坐标系的有关概念，理解简单图形的极坐标方程.2.会进行极坐标方程与直角坐标方程的互化.3.理解直线、圆及椭圆的参数方程，会进行参数方程与普通方程的互化，并能进行简单应用．

自主梳理
1．极坐标系的概念 在平面上取一个定点O，叫做极点；自极点O引一条射线Ox，叫做________；再选定一个长度单位、一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个____________． 设M是平面上任一点，极点O与点M的距离OM叫做点M的________，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫做点M的________，记为θ.有序数对(ρ，θ)叫做点M的__________，记作(ρ，θ)． 2．极坐标和直角坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位，设M是平面内任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标为(ρ，θ)，则它们之间的关系为x＝__________，y＝__________.另一种关系为：ρ2＝__________，tan θ＝______________. 3．简单曲线的极坐标方程 (1)一般地，如果一条曲线上任意一点都有一个极坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0，并且坐标适合方程φ(ρ，θ)＝0的点都在曲线上，那么方程φ(ρ，θ)＝0叫做曲线的____________． (2)常见曲线的极坐标方程 ①圆的极坐标方程 ____________表示圆心在(r,0)半径为|r|的圆； ____________表示圆心在(r，)半径为|r|的圆； ________表示圆心在极点，半径为|r|的圆． ②直线的极坐标方程 ____________表示过极点且与极轴成α角的直线； ____________表示过(a,0)且垂直于极轴的直线； ____________表示过(b，)且平行于极轴的直线； ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)表示过(ρ0，θ0)且与极轴成α角的直线方程． 4．常见曲线的参数方程 (1)直线的参数方程 若直线过(x0，y0)，α为直线的倾斜角，则直线的参数方程为这是直线的参数方程，其中参数l有明显的几何意义． (2)圆的参数方程 若圆心在点M(a，b)，半径为R，则圆的参数方程为0≤α<2π. (3)椭圆的参数方程 中心在坐标原点的椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)． (4)抛物线的参数方程 抛物线y2＝2px(p>0)的参数方程为
自我检测
1．(2010·北京)极坐标方程(ρ－1)(θ－π)＝0(ρ≥0)表示的图形是(　　) A．两个圆 B．两条直线 C．一个圆和一条射线 D．一条直线和一条射线 2．(2010·湖南)极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是(　　) A．圆、直线 B．直线、圆 C．圆、圆 D．直线、直线 3．(2010·重庆)直线y＝x＋与圆心为D的圆(θ∈[0,2π))交于A、B两点，则直线AD与BD的倾斜角之和为(　　) A.π B.π C.π D.π 4．(2011·广州一模)在极坐标系中，直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长为________． 5．(2010·陕西)已知圆C的参数方程为(α为参数)，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin θ＝1，则直线l与圆C的交点的直角坐标为________________.
探究点一　求曲线的极坐标方程
例1
在极坐标系中，以(，)为圆心，为半径的圆的方程为________．
变式迁移1 如图，求经过点A(a,0)(a>0)，且与极轴垂直的直线l的极坐标方程． 探究点二　极坐标方程与直角坐标方程的互化
例2
(2009·辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M、N分别为C与x轴，y轴的交点． (1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标； (2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程． 变式迁移2 (2010·东北三校第一次联考)在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：ρsin(θ－)＝， (1)求圆O和直线l的直角坐标方程； (2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标． 探究点三　参数方程与普通方程的互化
例3
将下列参数方程化为普通方程： (1)；(2)；(3). 变式迁移3 化下列参数方程为普通方程，并作出曲线的草图． (1)(θ为参数)； (2) (t为参数)． 探究点四　参数方程与极坐标的综合应用
例4
求圆ρ＝3cos θ被直线(t是参数)截得的弦长． 变式迁移4 (2011·课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数) M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2. (1)求C2的方程； (2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
本节内容要注意以下两点：一、简单曲线的极坐标方程可结合极坐标系中ρ和θ的具体含义求出，也可利用极坐标方程与直角坐标方程的互化得出．同直角坐标方程一样，由于建系的不同，曲线的极坐标方程也会不同．在没有充分理解极坐标的前提下，可先化成直角坐标解决问题．二、在普通方程中，有些F(x，y)＝0不易得到，这时可借助于一个中间变量(即参数)来找到变量x，y之间的关系．同时，在直角坐标系中，很多比较复杂的计算(如圆锥曲线)，若借助于参数方程来解决，将会大大简化计算量．将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的x，y(它们都是参数的函数)的取值范围，也即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．参数方程化普通方程常用的消参技巧有：代入消元、加减消元、平方后相加减消元等．同极坐标方程一样，在没有充分理解参数方程的前提下，可先化成直角坐标方程再去解决相关问题．
(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共25分) 1．在极坐标系中，与点(3，－)关于极轴所在直线对称的点的极坐标是(　　) A．(3，π) B．(3，) C．(3，π) D．(3，π) 2．曲线的极坐标方程为ρ＝2cos2－1的直角坐标方程为(　　) A．x2＋(y－)2＝ B．(x－)2＋y2＝ C．x2＋y2＝ D．x2＋y2＝1 3．(2010·湛江模拟)在极坐标方程中，曲线C的方程是ρ＝4sin θ，过点(4，)作曲线C的切线，则切线长为(　　) A．4 B. C．2 D．2 4．(2010·佛山模拟)已知动圆方程x2＋y2－xsin 2θ＋2·ysin(θ＋)＝0(θ为参数)，那么圆心的轨迹是(　　) A．椭圆 B．椭圆的一部分 C．抛物线 D．抛物线的一部分 5．(2010·安徽)设曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的方程为x－3y＋2＝0，则曲线C上到直线l距离为的点的个数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题(每小题4分，共12分) 6．(2010·天津)已知圆C的圆心是直线(t为参数)与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________． 7．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ<π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________． 8．(2010·广东深圳高级中学一模)在直角坐标系中圆C的参数方程为(α为参数)，若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C的极坐标方程为________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)(2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程． 10．(12分)(2010·福建)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝2sin θ. (1)求圆C的直角坐标方程； (2)设圆C与直线l交于点A，B.若点P的坐标为(3，)，求|PA|＋|PB|. 11．(14分)(2010·课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：(θ为参数)． (1)当α＝时，求C1与C2的交点坐标； (2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线． 学案75　坐标系与参数方程 自主梳理 1．极轴　极坐标系　极径　极角　极坐标　2.ρcos θ　ρsin θ　x2＋y2　(x≠0)　3.(1)极坐标方程　(2)①ρ＝2rcos θ　ρ＝2rsin θ　ρ＝r　②θ＝α(ρ∈R)　ρcos θ＝a　ρsin θ＝b 自我检测 1．C　2.A　3.C 4．4 5．(－1,1)，(1,1) 解析　∵y＝ρsin θ， ∴直线l的直角坐标方程为y＝1. 由得x2＋(y－1)2＝1. 由得或 ∴直线l与圆C的交点的直角坐标为(－1,1)和(1,1)． 课堂活动区
例1
解题导引　求曲线的极坐标方程的步骤：①建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；②由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；③将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；④证明所得方程就是曲线的极坐标方程，若方程的推导过程正确，化简过程都是同解变形，这一证明可以省略． 答案　ρ＝asin θ，0≤θ<π 解析　圆的直径为a，设圆心为C，在圆上任取一点A(ρ，θ)，
则∠AOC＝－θ或θ－， 即∠AOC＝|θ－|. 又ρ＝acos∠AOC＝acos|θ－|＝asin θ. ∴圆的方程是ρ＝asin θ，0≤θ<π. 变式迁移1 解　设P(ρ，θ)是直线l上任意一点，OPcos θ＝OA， 即ρcos θ＝a， 故所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝a.
例2
解题导引　直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．其中方程的两边同乘以(或同除以)ρ及方程两边平方是常用的变形方法．但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验． 解　(1)由ρcos＝1得 ρ＝1. 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1， 即x＋y＝2，当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)． 当θ＝时，ρ＝，所以N. (2)M点的直角坐标为(2,0)． N点的直角坐标为(0，)． 所以P点的直角坐标为， 则P点的极坐标为， 所以直线OP的极坐标方程为θ＝，ρ∈(－∞，＋∞)． 变式迁移2 解　(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O的直角坐标方程为x2＋y2＝x＋y， 即x2＋y2－x－y＝0. 直线l：ρsin(θ－)＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1， 则直线l的直角坐标方程为y－x＝1， 即x－y＋1＝0. (2)由得 故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1，)．
例3
解题导引　参数方程通过消去参数化为普通方程．对于(1)直接消去参数k有困难，可通过两式相除，先降低k的次数，再运用代入法消去k；对于(2)可运用恒等式(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ消去θ；对于(3)可运用恒等式()2＋()2＝1消去t. 另外，参数方程化为普通方程时，不仅要消去参数，还应注意普通方程与原参数方程的取值范围保持一致． 解　(1)两式相除，得k＝.将k＝代入，得x＝. 化简，得所求的普通方程是4x2＋y2－6y＝0(y≠6)． (2)由(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝2－(1－sin 2θ)， 得y2＝2－x. 又x＝1－sin 2θ∈[0,2]， 得所求的普通方程是y2＝2－x，x∈[0,2]． (3)由()2＋()2＝1， 得x2＋4y2＝1. 又x＝≠－1， 得所求的普通方程是x2＋4y2＝1(x≠－1)． 变式迁移3 解　(1)由y2＝(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1＋2x， 得y2＝2x＋1. ∵－≤sin 2θ≤，∴－≤x≤. ∵－≤sin θ＋cos θ≤，∴－≤y≤. 故所求普通方程为 y2＝2 (－≤x≤，－≤y≤)，图形为抛物线的一部分． 图形如图甲所示． (2)由x2＋y2＝2＋2＝1及x＝≠0，xy＝≥0知，所求轨迹为两段圆弧x2＋y2＝1 (03，∴有2个点．] 6．(x＋1)2＋y2＝2 解析　直线(t为参数)与x轴的交点为(－1,0)，故圆C的圆心为(－1,0)．又圆C与直线x＋y＋3＝0相切，∴圆C的半径为r＝＝，∴圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2. 7．(1，) 解析　将两曲线的参数方程化为一般方程分别为＋y2＝1(0≤y≤1，－0，故可设t1，t2是上述方程的两实根，所以 又直线l过点P(3，)， 故由上式及t的几何意义得|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝t1＋t2＝3.(12分) 方法二　(1)同方法一． (2)因为圆C的圆心为点(0，)，半径r＝，直线l的普通方程为y＝－x＋3＋.(8分) 由得x2－3x＋2＝0. 解得或(10分) 不妨设A(1,2＋)，B(2,1＋)，又点P的坐标为(3，)， 故|PA|＋|PB|＝＋＝3.(12分) 11．解　(1)当α＝时，C1的普通方程为y＝(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，联立方程组解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(，－)．(7分) (2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0. A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)， 故当α变化时，P点轨迹的参数方程为 (α为参数)．(9分) P点轨迹的普通方程为(x－)2＋y2＝.(12分) 故P点轨迹是圆心为(，0)，半径为的圆． (14分) 学案76　不等式选讲 (一)绝对值不等式 导学目标：1.理解绝对值的几何意义，并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式：(1)|a＋b|≤|a|＋|b|，(2)|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.

自主梳理
1．含________________的不等式叫做绝对值不等式． 2．解含有绝对值的不等式的方法关键是去掉绝对值符号，基本方法有如下几种： (1)分段讨论： 根据|f(x)|＝去掉绝对值符号． (2)利用等价不等式： |f(x)|≤g(x)?－g(x)≤f(x)≤g(x)； |f(x)|≥g(x)?f(x)≤－g(x)或f(x)≥g(x)． (3)两端同时平方：即运用移项法则，使不等式两边都变为非负数，再平方，从而去掉绝对值符号． 3．形如|x－a|＋|x－b|≥c (a≠b)与|x－a|＋|x－b|≤c (a≠b)的绝对值不等式的解法主要有三种： (1)运用绝对值的几何意义； (2)____________________； (3)构造分段函数，结合函数图象求解． 4．(1)定理：如果a，b，c是实数，则|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当____________时，等号成立． (2)重要绝对值不等式||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 使用时(特别是求最值时)要注意等号成立的条件，即 |a＋b|＝|a|＋|b|?ab≥0； |a－b|＝|a|＋|b|?ab≤0； |a|－|b|＝|a＋b|?b(a＋b)≤0； |a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0； 注：|a|－|b|＝|a＋b|?|a|＝|a＋b|＋|b|?|(a＋b)－b|＝|a＋b|＋|b|?b(a＋b)≤0. 同理可得|a|－|b|＝|a－b|?b(a－b)≥0.
自我检测
1．(2010·江西)不等式＞的解集是(　　) A．(0,2) B．(－∞，0) C．(2，＋∞) D．(－∞，0)∪(0，＋∞) 2．(2011·天津)已知集合A＝{x∈R||x＋3|＋|x－4|≤9}，B＝{x∈R|x＝4t＋－6，t∈(0，＋∞)}，则集合A∩B＝________. 3．(2011·潍坊模拟)已知不等式|x＋2|＋|x－3|≤a的解集不是空集，则实数a的取值范围是(　　) A．a<5 B．a≤5 C．a>5 D．a≥5 4．若不等式|x＋1|＋|x－2|7＋x； (3)|x－1|＋|2x＋1|<2. 变式迁移1 (2011·江苏)解不等式x＋|2x－1|<3. 探究点二　绝对值不等式的恒成立问题
例2
　(2011·商丘模拟)已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m. (1)若不等式有解； (2)若不等式解集为R； (3)若不等式解集为?. 分别求出实数m的取值范围． 变式迁移2　设函数f(x)＝|x－1|＋|x－2|，若f(x)>a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围． 探究点三　绝对值三角不等式定理的应用
例3
　“|x－A|<，且|y－A|<”是“|x－y|<ε”(x，y，A，ε∈R)的(　　) A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式迁移3　(1)求函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值； (2)求函数y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值．
转化与化归思想的应用
例
　(10分)设a∈R，函数f(x)＝ax2＋x－a (－1≤x≤1)， (1)若|a|≤1，求证：|f(x)|≤；(2)求a的值，使函数f(x)有最大值.
多角度审题
　第(1)问|f(x)|≤?－≤f(x)≤，因此证明方法有两种，一是利用放缩法直接证出|f(x)|≤；二是证明－≤f(x)≤亦可．第(2)问实质上是已知f(x)的最大值为，求a的值．由于x∈[－1,1]，f(x)是关于x的二次函数，那么就需判断对称轴对应的x值在不在区间[－1,1]上． 【答题模板】 证明　(1)方法一　∵－1≤x≤1，∴|x|≤1.又∵|a|≤1， ∴|f(x)|＝|a(x2－1)＋x|≤|a(x2－1)|＋|x|≤|x2－1|＋|x|＝1－|x|2＋|x| ＝－2＋≤.[3分] ∴若|a|≤1，则|f(x)|≤.[5分] 方法二　设g(a)＝f(x)＝ax2＋x－a＝(x2－1)a＋x. ∵－1≤x≤1， ∴当x＝±1， 即x2－1＝0时，|f(x)|＝|g(a)|＝1≤；[1分] 当－12 B．|a＋b|＋|a－b|<2 C．|a＋b|＋|a－b|＝2 D．不能比较大小 3．不等式|x＋3|－|x－1|≤a2－3a对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．(－∞，－1]∪[4，＋∞) B．(－∞，－2]∪[5，＋∞) C．[1,2] D．(－∞，1]∪[2，＋∞) 4．若不等式|8x＋9|<7和不等式ax2＋bx>2的解集相等，则实数a、b的值分别为(　　) A．a＝－8，b＝－10 B．a＝－4，b＝－9 C．a＝－1，b＝9 D．a＝－1，b＝2 5．若关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1在R上的解集为?，则实数a的取值范围是(　　) A．a<－1或a>3 B．－13，则<.其中所有正确命题的序号是________________． 7．(2010·陕西)不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________． 8．(2011·深圳模拟)若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是_____________________________________________________________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)(2010·福建)已知函数f(x)＝|x－a|. (1)若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值； (2)在(1)的条件下，若f(x)＋f(x＋5)≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 10．(12分)(2009·辽宁)设函数f(x)＝|x－1|＋|x－a|. (1)若a＝－1，解不等式f(x)≥3； (2)如果?x∈R，f(x)≥2，求a的取值范围． 11．(14分)对于任意实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|)恒成立，试求实数x的取值范围． 学案76　不等式选讲 (一)绝对值不等式 自主梳理 1．绝对值符号　3.(2)零点分区间讨论法 4．(1)(a－b)(b－c)≥0 自我检测 1．A　[∵＞，∴＜0，∴0＜x＜2.] 2．{x|－2≤x≤5} 解析　|x＋3|＋|x－4|≤9， 当x<－3时，－x－3－(x－4)≤9，即－4≤x<－3； 当－3≤x≤4时，x＋3－(x－4)＝7≤9恒成立； 当x>4时，x＋3＋x－4≤9，即40，又∵x<0，∴x不存在； 当0≤x<时，原不等式可化为－2x＋10， 又∵0≤x<，∴07＋x， 可得2x＋5>7＋x或2x＋5<－(7＋x)， 整理得x>2，或x<－4. ∴原不等式的解集是{x|x<－4，或x>2}． (3)由题意x＝1时，|x－1|＝0，x＝－时，2x＋1＝0(以下分类讨论)． 所以①当x<－时，原不等式等价于得－1时，原不等式等价于得x无解． 由①②③得原不等式的解集为{x|－m恒成立，须有[f(x)]min>m； (3)不等式的解集为R，即不等式恒成立； (4)不等式的解集为?，即不等式无解． 解　因为|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)、B(－3)距离的差． 即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|. 易知(|PA|－|PB|)max＝1， (|PA|－|PB|)min＝－1. 即|x＋2|－|x＋3|∈[－1,1]． (1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m<1. (2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m小于|x＋2|－|x＋3|的最小值即可，所以m<－1. (3)若不等式的解集为?，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1. 变式迁移2　解　由|x－1|＋|x－2|的几何意义，即数轴上的点x到数轴上的点1,2的距离之和知，|x－1|＋|x－2|≥1，要使|x－1|＋|x－2|>a恒成立，只须1>a. 即实数a的取值范围为(－∞，1)．
例3
　解题导引　对绝对值三角不等式 |a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|. (1)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|； 当ab≤0时，|a－b|＝|a|＋|b|. (2)该定理可以推广为|a＋b＋c|≤|a|＋|b|＋|c|，也可强化为||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|，它们经常用于含绝对值的不等式的推证． (3)利用“＝”成立的条件可求函数的最值． A　[∵|x－y|＝|x－A－(y－A)|， ∴由三角不等式定理 |a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b| 得：|x－y|≤|x－A|＋|y－A|<＋＝ε. 反过来由|x－y|<ε，得不出|x－A|<且|y－A|<， 故选A.] 变式迁移3　解　(1)|x＋2|－|x－2| ≤|(x＋2)－(x－2)|＝4， 当x>2时，“＝”成立． 故函数y＝|x＋2|－|x－2|的最大值为4. (2)|x－3|＋|x＋2|≥|(x－3)－(x＋2)|＝5. 当－2≤x≤3时，取“＝”． 故y＝|x－3|＋|x＋2|的最小值为5. 课后练习区 1．A　[∵|x2－x|<2，∴－20 (b<0时同理)． (1)当－13，∴<，∴<，即||<. 故①、②、③都正确． 7．{x|x≥1} 解析　原不等式可化为： 或 或 ∴x∈?或1≤x<2或x≥2.∴不等式的解集为{x|x≥1}． 8．(－∞，0)∪{2} 解析　由|x＋1|＋|x－3|的几何意义知， |x＋1|＋|x－3|∈[4，＋∞)，∴a＋≤4. 当a>0时，a＋≥4，当且仅当a＝2时，取等号， 当a<0，显然符合题意． 9．解　方法一　(1)由f(x)≤3 得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.(3分) 又已知不等式f(x)≤3的解集为 {x|－1≤x≤5}， 所以解得a＝2.(6分) (2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|，设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)， 于是g(x)＝|x－2|＋|x＋3| ＝(8分) 所以当x<－3时，g(x)>5； 当－3≤x≤2时，g(x)＝5； 当x>2时，g(x)>5. 综上可得，g(x)的最小值为5.(10分) 从而若f(x)＋f(x＋5)≥m，即g(x)min≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．(12分) 方法二　(1)同方法一．(6分) (2)当a＝2时，f(x)＝|x－2|. 设g(x)＝f(x)＋f(x＋5)＝|x－2|＋|x＋3|. 由|x－2|＋|x＋3|≥|(x－2)－(x＋3)|＝5(当且仅当－3≤x≤2时等号成立)得， g(x)的最小值为5.(10分) 从而，若f(x)＋f(x＋5)≥m， 即g(x)min≥m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5]．(12分) 10．解　(1)当a＝－1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋1|. 由f(x)≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3. ①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x≥3. 不等式组的解集为.(2分) ②当－11时，不等式化为x－1＋x＋1≥3，即2x≥3. 不等式组的解集为. 综上得，f(x)≥3的解集为∪.(6分) (2)若a＝1，f(x)＝2|x－1|，不满足题设条件． 若a<1，f(x)＝(8分) f(x)的最小值为1－a.(9分) 若a>1，f(x)＝(11分) f(x)的最小值为a－1. 所以?x∈R.f(x)≥2的充要条件是|a－1|≥2，从而a的取值范围为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．(12分) 11．解　由题知，|x－1|＋|x－2|≤恒成立． 故|x－1|＋|x－2|不大于的最小值． (2分) ∵|a＋b|＋|a－b|≥|a＋b＋a－b|＝2|a|，当且仅当(a＋b)(a－b)≥0时取等号， ∴的最小值等于2.(6分) ∴x的取值范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解． 解不等式得≤x≤.(14分) 学案77　不等式选讲 (二)证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式．

自主梳理
1．三个正数的算术—几何平均不等式：如果a，b，c>0，那么_________________________，当且仅当a＝b＝c时等号成立． 2．基本不等式(基本不等式的推广)：对于n个正数a1，a2，…，an，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即≥，当且仅当__________________时等号成立． 3．二维形式的柯西不等式及推论：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立；≥|ac＋bd|，当且仅当ad＝bc时等号成立；≥|ac|＋|bd|，当且仅当________________时等号成立． 4．证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键．
自我检测
1．已知M＝a2＋b2，N＝ab＋a＋b－1，则M，N的大小关系为(　　) A．M>N B．Mb≥0，p＝－，q＝，那么(　　) A．p≤q B．p≥q C．pQ 4．已知a>b>0，n∈N*，则使不等式a2－n≥成立的n的最大值为(　　) A．4 B．8 C．10 D．16 5．(2011·南阳月考)已知a，b，c>0，且a＋b>c，设M＝＋，N＝，则M与N的大小关系是__________________________________________________________.
探究点一　比较法证明不等式
例1
　已知a>0，b>0，求证：＋≥＋. 变式迁移1　(2011·福建)设不等式|2x－1|<1的解集为M. (1)求集合M； (2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小． 探究点二　用综合法证明不等式
例2
　设a、b、c均为正数，求证： ＋＋≥＋＋. 变式迁移2　设x是正实数，求证： (x＋1)(x2＋1)(x3＋1)≥8x3. 探究点三　用分析法证明不等式
例3
　(2011·武汉模拟)已知a>b>0，求证：<－<. 变式迁移3　已知a>0，求证： －≥a＋－2.
转化与化归思想的应用
例
　(10分)已知f(x)＝x2＋px＋q.求证： (1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝2； (2)|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.
多角度审题
　已知f(x)，要证f(1)＋f(3)－2f(2)＝2，只须化简左边式子，看是怎样的形式，然后才能视情况而定如何证明．求证|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于包括： |f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中有一个大于等于，其余两个小于；三个中有2个大于等于，另一个小于；三个都大于等于.如果从正面证明，将有7种情况需要证明，非常繁杂，可考虑用反证法证明． 【答题模板】 证明　(1)f(1)＋f(3)－2f(2)＝(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－2(4＋2p＋q)＝2.[2分] (2)假设|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于， 则|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|<2，[4分] 而|f(1)|＋2|f(2)|＋|f(3)|≥|f(1)＋f(3)－2f(2)| ＝|(1＋p＋q)＋(9＋3p＋q)－(8＋4p＋2q)|＝2，与假设矛盾．[9分] ∴|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|中至少有一个不小于.[10分] 【突破思维障碍】 根据正难则反的证明原则，|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|至少有一个不小于的反面为|f(1)|、|f(2)|、|f(3)|都小于，所以用反证法证明只有一种情况，如果这一种情况不成立，则原命题成立． 【易错点剖析】 在证明(2)中如果不知道用反证法证，而是从正面分七种情况证明，往往会出现这样或那样的失误．
1．证明不等式的常用方法有五种，即比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法． 2．应用反证法证明数学命题，一般有下面几个步骤：(1)分清命题的条件和结论；(2)作出与命题结论相矛盾的假设；(3)由条件和假设出发，应用正确的推理方法，推出矛盾结果；(4)断定产生矛盾结果的原因在于开始所作的假设不真，于是原结论成立，从而间接地证明了命题为真． 3．放缩法证明不等式时，常见的放缩法依据或技巧主要有：(1)不等式的传递性；(2)等量加不等量为不等量；(3)同分子(母)异分母(子)的两个分式大小的比较．缩小分母、扩大分子，分式值增大；缩小分子、扩大分母，分式值减小；全量不少于部分；每一次缩小其和变小，但需大于所求；每一次扩大其和变大，但需小于所求，即不能放缩不够或放缩过头，同时放缩有时需便于求和． 4．放缩法的常用措施：(1)舍去或加上一些项，如2＋>2；(2)将分子或分母放大(缩小)，如<，>，<，> (k∈N*且k>1)等．
(满分：75分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．(2011·烟台月考)已知a、b、m∈R＋且a>b，则(　　) A.> B.＝ C.< D.与间的大小不能确定 2．(2010·黄冈期中)设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A.abba C．a3>a2－a＋1 D．(＋)m2< 二、填空题(每小题4分，共12分) 5．(2011·湖南)设x，y∈R，且xy≠0，则(x2＋)(＋4y2)的最小值为________． 6．已知x>0，y>0，lg 2x＋lg 8x＝lg 2，则＋的最小值为________． 7．设x＝a2b2＋5，y＝2ab－a2－4a，若x>y，则实数a，b应满足的条件为__________________． 三、解答题(共43分) 8．(10分)已知x，y，z均为正数，求证： ＋＋≥＋＋. 9．(10分)(2011·包头模拟)已知正数a、b、c满足a＋b<2c，求证： c－(x＋y＋z)． 学案77　不等式选讲 (二)证明不等式的基本方法 自主梳理 1.≥　2.a1＝a2＝…＝an　3.ad＝bc且abcd≥0　4.(1)差　商　(2)公理　定理　(3)充分　(5)①放大　缩小 自我检测 1．C　[∵M－N＝a2＋b2－ab－a－b＋1 ＝(2a2＋2b2－2ab－2a－2b＋2) ＝[(a2－2ab＋b2)＋(a2－2a＋1)＋(b2－2b＋1)] ＝[(a－b)2＋(a－1)2＋(b－1)2]≥0，当且仅当a＝b＝1时“＝”成立．∴M≥N.] 2．A　[p2－q2＝a＋b－2－a＋b ＝2(－)≤0.∴p≤q.] 3．C　[Q＝·＝ ＝ ≥＝＋＝P.∴P≤Q.] 4．B　[∵n≤a2＋，b(a－b)≤ (2≥0)． ∴a2＋≥a2＋≥2＝8(a＝2，b＝1时取“＝”)． 即a2＋的最小值为8，∴nmax＝8.] 5．M>N 解析　∵a，b，c>0，且a＋b>c， ∴M＝＋>＋＝ 设f(x)＝ (x>0)，∵f′(x)＝＝>0， 即f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴f(a＋b)>f(c)，即>，∴M>N. 课堂活动区
例1
　解题导引　不等式左、右两边是多项式形式，可用作差或作商比较法，也可用分析法、综合法． 证明　∵＋－(＋) ＝ ＝， 又＋>0，>0，(－)2≥0， ∴＋－(＋)≥0.故＋≥＋. 变式迁移1　解　(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1， 解得00， 故ab＋1>a＋b.
例2
　解题导引　本例不等式中的a、b、c具有同等的地位，证明此类型不等式往往需要通过系数的变化，利用基本不等式进行放缩，得到要证明的结论． 证明　∵a、b、c均为正数， ∴≥≥， 当且仅当a＝b时等号成立； 同理：≥≥， 当且仅当b＝c时等号成立； ≥≥， 当且仅当a＝c时等号成立． 三个不等式相加即得 ＋＋≥＋＋， 当且仅当a＝b＝c时等号成立． 变式迁移2　证明　x是正实数，由基本不等式知， x＋1≥2，1＋x2≥2x，x3＋1≥2， 故(x＋1)(x2＋1)(x3＋1) ≥2·2x·2＝8x3 (当且仅当x＝1时等号成立)．
例3
　解题导引　当要证的不等式较复杂，已知条件信息量太少，已知与待证间的联系不明显时，一般可采用分析法．分析法是步步寻求不等式成立的充分条件，而实际操作时往往是先从要证的不等式出发，寻找使不等式成立的必要条件，再考虑这个必要条件是否充分，这种“逆求”过程能培养学生的发散思维能力，也是分析问题、解决问题时常用的思考方法． 证明　欲证<－<， 只需证<<. ∵a>b>0， ∴只需证<<， 即<1<.欲证<1， 只需证＋<2，即<.该式显然成立． 欲证1<， 只需证2<＋，即<.该式显然成立． ∴<1<成立，且以上各步均可逆． ∴<－<成立． 变式迁移3　证明　要证 －≥a＋－2， 只需证 ＋2≥a＋＋， ∵a>0，∴只须证2≥2， 从而只要证2 ≥， 只要证4≥2， 即a2＋≥2，而上述不等式显然成立，故原不等式成立． 课后练习区 1．A　[∵－＝＝>0， ∴>.] 2．C　[当a>0，b>0时，2＝a＋b>2，∴02，>1，又a≠b.∴选C.] 3．A　[只有a2＋≥2>1，故选A.] 4．D　[取a＝b＝1，显然有＝4·44 ＝－4＝16>1，∴48>84，A不成立； ∵＝a·b＝a－b， 当ay，得a2b2＋5－2ab＋a2＋4a ＝(ab－1)2＋(a＋2)2>0，所以有ab≠1或a≠－2. 8．证明　因为x，y，z均为正数， 所以＋＝≥， 同理可得＋≥，＋≥，(5分) 当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立，将上述三个不等式两边分别相加，并除以2， 得＋＋≥＋＋.(10分) 9．证明　要证c－0，只需证a＋b<2c， 这就是已知条件，且以上各步都可逆， ∴c－＋＋＝(x＋y＋z)， 即＋＋ >(x＋y＋z)．(13分)

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