三维设计2013年高考数学二轮复习：立体几何
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题 (本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．下列四个选项给出的条件中，能唯一确定四面体ABCD的是( )
A．四面体ABCD三对对棱（即没有公共顶点的棱）分别相等，长度分别是1cm，2cm,3cm
B．四面体ABCD有五条棱长都是1cm
C．四面体ABCD内切球的半径是1cm
D．四面体ABCD外接球的半径是1cm
【答案】A[来源: ]
2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是( )
A． B．2
C． D．
【答案】A
3．一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为( )
A．6 B． 2 C． D．
【答案】D
4．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为( )
A． 4 B． 8 C． 16 D． 20
【答案】C
5．下列说法不正确的是( )
A．圆柱的侧面展开图是一个矩形
B．圆锥的过轴的截面是一个等腰三角形
C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥
D．圆台平行于底面的截面是圆面
【答案】C
6．一个几何体按比例绘制的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为( )
A．4 B． C．3 D．
【答案】C
7．在北纬45°的纬度圈上有甲、乙两地,两地经度差为90°,则甲、乙两地最短距离为(设地球的半径为R) ( )
A． B． C． D．[来源: ]
【答案】B
8．在空间直角坐标系内，已知直线平行平面且过点（1，1， 2），则到平面的距离是( )
A．1 B．2 C．3 D．
【答案】B
9．在正方体的顶点中任意选择4个顶点，对于由这4个顶点构成的各种几何形体的以下判断中，所有正确的结论个数是( )
① 能构成矩形；
② 能构成不是矩形的平行四边形；
③ 能构成每个面都是等边三角形的四面体；
④ 能构成每个面都是直角三角形的四面体；
⑤ 能构成三个面为全等的等腰直角三角形，一个面为等边三角形的四面体.
A．2 B．3 C． 4 D． 5
【答案】C
10．地球半径为R，则北纬600圈的长度是( )
A． B． C． D．
【答案】D
11．在空间，下列条件可以确定一个平面的是( )
A．两条直线 B．一个三角形 C．一点和一条直线 D．三个点
【答案】B
12．已知三棱锥的正视图与俯视图如图所示，俯视图是边长为2的正三角形，则该三棱锥的侧视图可能是( )
【答案】B
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题 (本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
13．有如下四个命题:
① 平面α平面β垂直的充要条件是平面α内至少有一条直线与平面β垂直;
② 平面α和平面β平行的一个必要不充分条件是α内有无数条直线与平面β平行;
③直线a与平面α平行的一个充分不必要条件是平面α内有一条直线与直线a平行;
④ 两条直线平行是这两条直线在一个平面内的射影互相平行的既不充分也不必要条件.
其中正确命题的序号是 .
【答案】①②④
14．空间两点（-1,0,3）, (0,4,-1)间的距离是
【答案】
15．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中
① 与 平行； ② 与异面；
③ 与成； ④ 与垂直；
⑤ 与相交.
以上五个命题中，正确命题的序号是____________.
【答案】③④⑤
16．如图，点为正方体的中心，点为面的中心，点为的中点，则空间四边形在该正方体的面上的正投影可能是 (填出所有可能的序号）．
【答案】①②③
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
17．如图，平面四边形ABCD关于直线AC对称，，把△ABD沿BD折起（如图），使二面角A―BD―C的余弦值等于。对于下图，完成以下各小题：
(1）求A，C两点间的距离；
(2）证明：AC平面BCD；
(3）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值。
【答案】（1）取BD的中点E，连接AE，CE，
由AB=AD，CB=CD得，
就是二面角A―BD―C的平面角，
在△ACE中，
(2）由AC=AD=BD=2，AC=BC=CD=2，
(3）以CB，CD，CA所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系C－xyz，
则
18．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，2AC＝AA1＝BC＝2．
(1）若D为AA1中点，求证：平面B1CD⊥平面B1C1D；
(2）当AD的长等于多少时？二面角B1 －DC－C1的大小为60°．
【答案】(1）∵∠A1C1B1＝∠ACB＝90°，∴B1C1⊥A1C1．[来源:]
又由直三棱柱性质知B1C1⊥CC1，∴B1C1⊥平面ACC1A1．
∴B1C1⊥CD． ①
由D为中点可知，，∴DC2＋DC12＝CC12，即CD⊥DC1．②
由①②可知CD⊥平面B1C1D，又平面B1CD，故平面B1CD⊥平面B1C1D．
(2）由（1）可知B1C1⊥平面ACC1A1，在平面ACC1A1内过C1作C1E⊥平面CD，交CD或延长线于E，连接EB1．
由三垂线定理可知∠B1EC1为二面角B1 －DC－C1的平面角，∴∠B1EC1＝60°．[来源:]
由B1C1＝2，知，设AD＝x，则．
∵△DCC1的面积为1，∴，解得，即．
19．如图，直三棱柱，，AA′=1，点分别为和的中点。
(Ⅰ)证明：∥平面;
(Ⅱ)求三棱锥的体积。
【答案】（1）（法一）连结，由已知
三棱柱为直三棱柱，
所以为中点.又因为为中点
所以，又平面
平面，因此
(法二）取的中点为P，连结MP，NP，
∵分别为和的中点，
∴MP∥,NP∥,
∴MP∥面,NP∥面,
∵, ∴面MPN∥面，[来源:]
∵MN面， ∴MN∥面.
(Ⅱ)（解法一）连结BN，由题意⊥,面∩面=,
∴⊥⊥面NBC， ∵==1,
∴.
(解法2)
20．如图，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，∠BAD=60°.
(Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAC；
(Ⅱ）求点A到平面PBD的距离；
(Ⅲ）求二面角A—PB—D的余弦值.
【答案】设AC与BD交于O点
以OA、OB所在直线分别x轴，y轴.
以过O且垂直平面ABCD的直线为z轴，建立
如图的空间直角坐标系，则
(Ⅱ）设平面PDB的法向量为
由
=
(Ⅲ）设平面ABP的法向量
所以二面角A—PB—D的余弦值为
21．如图甲，在平面四边形中，已知
，现将四边形沿折起，使平面平面（如图乙），设点为棱的中点．
(1)求证：平面；(2)求与平面所成角的正弦值大小．
【答案】（1），
又平面平面
平面平面
平面
平面
又 平面
(2）取AC中点F，连结EF，BF.
为AD中点，
平面ABC
为BE在平面ABC中的射影
为与平面所成角.
令AB=，则，
与平面所成角的正弦值为.
22．如下图（图1）等腰梯形PBCD，A为PD上一点，且AB⊥PD，AB=BC，AD=2BC，沿着AB折叠使得二面角P-AB-D为的二面角，连结PC、PD，在AD上取一点E使得3AE=ED，连结PE得到如下图（图2）的一个几何体．
(1）求证：平面PAB平面PCD；
(2）求PE与平面PBC所成角的正弦值．
【答案】（1），又二面角P-AB-D为
，又AD=2PA
有平面图形易知：AB平面APD，又，，
，且
，又，平面PAB平面PCD
(2）设E到平面PBC的距离为，AE//平面PBC
所以A 到平面PBC的距离亦为
连结AC，则，设PA=2
=
，设PE与平面PBC所成角为
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