2014高考数学(文) 小专题突破精练：利用导数研究函数的单调性
1．设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且，则当时，有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设，则，
∴ 在上是减函数，得，∴ ．
2．函数的定义域为，，对任意，，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则，
∴在上为增函数，
∵，
∴由，得．
3．已知.
（1）求的单调增区间；
（2）若在定义域内单调递增，求的取值范围．
【解析】（1）∵ .
（1）若，恒成立，即在上递增.
若,,∴, .
∴的单调递增区间为.
（2）∵在上递增，∴在上恒成立.
∴，即在上恒成立.
∴，又∵，∴.
综上：当时，函数在区间上单调递增．
4.（2013东城二模）已知函数．
（1）若，求在处的切线方程；
（2）若在上是增函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）由，，，
∴，∴，
∴所求切线方程为，
即．
（2）由已知，得．
∵函数在上是增函数，
∴恒成立，即不等式恒成立．
整理得．
令
的变化情况如下表：
+
极小值
由此得，即的取值范围是．
5．（2013石景山一模）已知函数．
（1）若函数的图象在处的切线斜率为，求实数的值；
（2）求函数的单调区间；
（3）若函数在上是减函数，求实数的取值范围．
【解析】（1）， ……1分
由已知，解得． ……3分
（2）函数的定义域为．
①当时, ，的单调递增区间为；
②当时．
当变化时，的变化情况如下：
-
+
极小值
由上表可知，函数的单调递减区间是；
单调递增区间是．
（3）由，得，
由已知函数为上的单调减函数，
则在上恒成立，即在上恒成立．
即在上恒成立．
令，，∴，
∴在为减函数． ,
∴．
6．（2013东莞一模）已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）当时，讨论的单调性．
【解析】（1）当时，，
∴，，
∴所求的切线方程为．
（2）∵，
∴ ，
令
当时，
∴时，，此时，函数单调递减，
时，，此时，函数单调递增，
当时，由，解得，
①若，函数在上单调递减，
②若，在单调递减，在上单调递增．
③ 当时，由于，
时，，此时，函数单调递减；
时，，此时函数，函数单调递增．
综上所述：
当时，函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，函数在上单调递减；
当时，函数在上单调递减；
函数 在上单调递增．
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