A单元 集合与常用逻辑用语
A1 集合及其运算
1．A1[2013·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A＝{x|x2－2x＞0}，B＝x，则( )
A．A∩B＝ B．A∪B＝R
C．BA D．AB
1．B [解析] A＝{x|x<0或x>2}，故A∪B＝R.
1．A1[2013·北京卷] 已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{x|－1≤x<1}，则A∩B＝( )
A．{0} B．{－1，0} C．{0，1} D．{－1，0，1}
1．B [解析] ∵－1∈B，0∈B，1B，∴A∩B＝{－1，0}，故选B.
1．A1[2013·广东卷] 设集合M＝{x|x2＋2x＝0，x∈R}，N＝{x|x2－2x＝0，x∈R}，则M∪N＝( )
A．{0} B．{0，2}
C．{－2，0} D．{－2，0，2}
1．D [解析] ∵M＝{－2，0}，N＝{0，2}，∴M∪N＝{－2，0，2}，故选D.
2．A1[2013·湖北卷] 已知全集为R，集合A＝xx≤1，B＝{x|x2－6x＋8≤0}，则A∩(?RB)＝( )
A．{x|x≤0} B．{x|2≤x≤4}
C．{x|0≤x<2或x>4} D．{x|04}，可得答案为C.
16．A1，A3，B6[2013·湖南卷] 设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.
16．(1){x|0a>0，c>b>0，故a＋b＝2aa>0，c>b>0，则0<<1，0<<1，当x∈(－∞，1)时，有>，>，所以＋>＋，又a，b，c为三角形三边，则定有a＋b>c，故对x∈(－∞，1)，＋－1>0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>0，故①正确；取x＝2，则＋<＋，取x＝3，则＋<＋，由此递推，必然存在x＝n时，有＋<1，即an＋bn0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C为钝角)，根据零点存在性定理可知，x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.
4．A1[2013·江苏卷] 集合{－1，0，1}共有________个子集．
4．8 [解析] 集合{－1，0，1}共有3个元素，故子集的个数为8.
1．A1，L4[2013·江西卷] 已知集合M＝{1，2，zi}，i为虚数单位，N＝{3，4}，M∩N＝{4}，则复数z＝( )
A．－2i B．2i
C．－4i D．4i
1．C [解析] zi＝4z＝－4i，故选C.
2．A1[2013·辽宁卷] 已知集合A＝，B＝，则A∩B＝( )
A．(0，1) B．(0，2]
C．(1，2) D．(1，2]
2．D [解析] ∵A＝{x|1－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?RS)∪T＝( )
A．(－2，1] B．(－∞，－4]
C．(－∞，1] D．[1，＋∞)
2．C [解析] ?RS＝{x|x≤－2}，T＝{x|(x＋4)(x－1)≤0}＝{x|－4≤x≤1}，所以(?RS)∪T＝(－∞，1]．故选择C.
22．A1、A2，J1[2013·重庆卷] 对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝)．
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
22．解：(1)当k＝4时，m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．
再证P14符合要求，当k＝1时，m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集m∈I14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.
当k＝9时，集m∈I14中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，
B3＝.
最后，集C＝m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．
1．A1[2013·重庆卷] 已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则?U(A∪B)＝( )
A．{1，3，4} B．{3，4} C．{3} D．{4}
1．D [解析] 因为A∪B＝{1，2，3}，所以?U(A∪B)＝{4}，故选D.
A2 命题及其关系、充分条件、必要条件
4．A2、B5[2013·安徽卷] “a≤0”是“函数f(x)＝|(ax－1)x|在区间(0，＋∞)内单调递增”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．C [解析] f(x)＝|(ax－1)x|＝|ax2－x|，若a＝0，则f(x)＝|x|，此时f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增；若a<0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝<0，且x＝0时y＝0，此时y＝ax2－x在区间(0，＋∞)上单调递减且y<0恒成立，故f(x)＝|ax2－x|在区间(0，＋∞)上单调递增，故a≤0时，f(x)在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是充分的；反之若a>0，则二次函数y＝ax2－x的对称轴x＝>0，且在区间0，上y<0，此时f(x)＝|ax2－x|在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减，故函数f(x)不可能在区间(0，＋∞)上单调递增，条件是必要的．
3．A2、C3[2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．A [解析] ∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，
∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.
2．A2[2013·福建卷] 已知集合A＝{1，a}，B＝{1，2，3}，则“a＝3”是“AB”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
2．A [解析] 当a＝3时，A＝{1，3}，AB；当AB时，a＝2或a＝3，故选A.
3．A2[2013·湖北卷] 在一次跳伞中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题p是“甲降落在指定范围”，q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )
A．(瘙綈p)∨(瘙綈q) B．p∨(瘙綈q)
C．(瘙綈p)∧(瘙綈q) D．p∨q
3．A [解析] “至少一位学员没降落在指定区域”即“甲没降落在指定区域或乙没降落在指定区域”，可知选A.
7．A2[2013·山东卷] 给定两个命题p，q，若瘙綈p是q的必要而不充分条件，则p是瘙綈q的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
7．A [解析] ∵瘙綈p是q的必要不充分条件，∴q是瘙綈p的充分而不必要条件，又“若p，则瘙綈q”与“若q，则瘙綈p”互为逆否命题，∴p是瘙綈q的充分而不必要条件．
3．F1，A2[2013·陕西卷] 设a，b为向量，则“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．C [解析] 由已知中|a·b|＝|a|·|b|可得，a与b同向或反向，所以a∥b.又因为由a∥b，可得|cos〈a，b〉|＝1，故|a·b|＝|a|·|b||cos〈a，b〉|＝|a|·|b|，故|a·b|＝|a|·|b|是a∥b的充分必要条件．
4．A2[2013·四川卷] 设x∈Z，集合A是奇数集，集合B是偶数集．若命题p：x∈A，2x∈B，则( )
A．瘙綈p：x∈A，2xB
B．瘙綈p：xA，2xB
C．瘙綈p：xA，2x∈B
D．瘙綈p：x∈A，2xB
4．D [解析] 注意到全称命题的否定为特称命题，故应选D.
图1－4
4．A2[2013·天津卷] 已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号是( )
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
4．C [解析] 由球的体积公式V＝πR3知体积与半径是立方关系，①正确．平均数反映数据的所有信息，标准差反映数据的离散程度，②不正确．圆心到直线的距离为＝＝r，即直线与圆相切，③正确．
4．A2[2013·浙江卷] 已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)
(A>0，ω>0，φ∈R)，则“f(x)是奇函数”是“φ＝”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．B [解析] f(x)＝Acos(ωx＋φ)是奇函数的充要条件是f(0)＝0，即cos φ＝0，φ＝kπ＋，k∈Z，所以“f(x)是奇函数”是“φ＝”的必要不充分条件，故选择B.
22．A1、A2，J1[2013·重庆卷] 对正整数n，记In＝{1，2，…，n}，Pn＝)．
(1)求集合P7中元素的个数；
(2)若Pn的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”，求n的最大值，使Pn能分成两个不相交的稀疏集的并．
22．解：(1)当k＝4时，m∈I7中有3个数与I7中的3个数重复，因此P7中元素的个数为7×7－3＝46.
(2)先证：当n≥15时，Pn不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A，B为不相交的稀疏集，使A∪B＝PnIn.不妨设1∈A，则因1＋3＝22，故3A，即3∈B.同理6∈A，10∈B，又推得15∈A，但1＋15＝42，这与A为稀疏集矛盾．
再证P14符合要求，当k＝1时，m∈I14＝I14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A1＝{1，2，4，6，9，11，13}，B1＝{3，5，7，8，10，12，14}，则A1，B1为稀疏集，且A1∪B1＝I14.
当k＝4时，集m∈I14中除整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A2＝，B2＝.
当k＝9时，集m∈I14中除正整数外剩下的数组成集，可分解为下面两稀疏集的并：A3＝，
B3＝.
最后，集C＝m∈I14，k∈I14，且k≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪B2∪B3，则A和B是不相交的稀疏集，且A∪B＝P14.
综上，所求n的最大值为14.
注：对P14的分拆方法不是唯一的．
A3 基本逻辑联结词及量词
16．A1，A3，B6[2013·湖南卷] 设函数f(x)＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.
(1)记集合M＝{(a，b，c)|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则(a，b，c)∈M所对应的f(x)的零点的取值集合为________；
(2)若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)
①x∈(－∞，1)，f(x)>0；
②x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；
③若△ABC为钝角三角形，则x∈(1，2)，使f(x)＝0.
16．(1){x|0a>0，c>b>0，故a＋b＝2aa>0，c>b>0，则0<<1，0<<1，当x∈(－∞，1)时，有>，>，所以＋>＋，又a，b，c为三角形三边，则定有a＋b>c，故对x∈(－∞，1)，＋－1>0，即f(x)＝ax＋bx－cx＝cx>0，故①正确；取x＝2，则＋<＋，取x＝3，则＋<＋，由此递推，必然存在x＝n时，有＋<1，即an＋bn0，f(2)＝a2＋b2－c2<0(C为钝角)，根据零点存在性定理可知，x∈(1，2)，使f(x)＝0，故③正确．故填①②③.
2．A3[2013·重庆卷] 命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为( )
A．对任意x∈R，都有x2＜0
B．不存在x∈R，使得x2＜0
C．存在x0∈R，使得x≥0
D．存在x0∈R，使得x＜0
2．D [解析] 根据定义可知命题的否定为：存在x0∈R，使得x＜0，故选D.
A4 单元综合
10．A4，B14[2013·福建卷] 设S，T是R的两个非空子集，如果存在一个从S到T的函数y＝f(x)满足：(1)T＝{f(x)|x∈S}；(2)对任意x1，x2∈S，当x10，则綈p：≤0
B．存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝成立
C．命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1>0，则綈p：对任意的x∈R，x2＋x＋1≤0
D．若p或q为假命题，则p，q均为假命题
3．D [解析] 已知p：>0，则綈p：≤0或者x＋1＝0，所以A是假命题．因为sin x＋cos x＝sin∈[－，]，而>，所以不存在实数x∈R，使sin x＋cos x＝成立，因此B是假命题．命题p：对任意的x∈R，x2＋x＋1>0，则綈p：存在x∈R，x2＋x＋1≤0，所以C是假命题．若p或q为假命题，则p，q均为假命题，所以命题D是真命题．选择D.
[规律解读] 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．原命题与逆否命题为等价命题，逆命题与否命题为等价命题，一真俱真，一假俱假；当一个命题的真假不易判断时，可考虑判断其等价命题的真假．
4．[2013·威海期末] ?x∈R，x2－ax＋1≤0为假命题，则a的取值范围为( )
A．(－2，2)
B．[－2，2]
C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)
4．A [解析] 因为“?x∈R，x2－ax＋1≤0”为假命题，所以?x∈R，x2－ax＋1>0，即Δ<0，即a2－4<0，解得－21”是命题“q：θ∈[，)”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．B [解析] p：>1?(a－b)2>1?a2－2a·b＋b2>1?a·b<?cos θ<，θ∈[0，π]?θ∈；
而q：θ∈，由，所以p是q的必要不充分条件，选择B.
[规律解读] (1)判断充分条件、必要条件的方法有三种：直接法，集合法，等价法．(2)利用集合法进行判断时，借助数轴能直观显示两个集合的关系，从而使问题易于求解．(3)对于条件或结论是否定形式的充分条件、必要条件的判断，要善于利用等价命题进行判断．在进行充分条件、必要条件判断时，首先要明确哪个论断是条件，哪个论断是结论，而且将条件进行适当的化简以及合理的表示条件间的推出关系也是解决问题的关键．
6．[2013·东莞调研] 已知函数f(x)＝的定义域为M，g(x)＝ln x的定义域为N，则M∩N＝________．
6．(0，1) [解析] 由题意f(x)满足1－x>0，即定义域M＝，N＝，M∩N＝(0，1)．
[规律解读] 集合的关系和运算在高考中常常考一个小题，常结合方程的解，不等式的解集，函数的定义域和值域的考查．解题方法是理清元素结合图像(Venn图、数轴和坐标系)解决．
【点此下载】