C单元 三角函数
C1 角的概念及任意的三角函数
13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
13. [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.
C2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
13．C2[2013·全国卷] 已知α是第三象限角，sin α＝－，则cot α＝________．
13．2 [解析] cosα＝－＝－，所以cotα＝＝2 .
13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
13. [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.
15．C2，C5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．
15．－ [解析] 由tan＝得＝tan θ＝－cos θ＝－3sin θ ，
由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ 在第二象限，
sin θ＝，cos θ＝－，
∴sin θ＋cos θ＝－ .
20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.
(2)由题意得
＝，
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.
因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝.
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D．2 －1
9．C [解析] 原式＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝
＝＝，故选C.
C3 三角函数的图像与性质
3．A2、C3[2013·北京卷] “φ＝π”是“曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点”的( )
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．A [解析] ∵曲线y＝sin(2x＋φ)过坐标原点，
∴sin φ＝0，∴φ＝kπ，k∈Z，故选A.
1．C3[2013·江苏卷] 函数y＝3sin的最小正周期为________．
1．π [解析] 周期为T＝＝π.
8．C3[2013·山东卷] 函数y＝xcos x＋sin x的图像大致为( )
图1－2
8．D [解析] ∵f(－x)＝－xcos(－x)＋sin(－x)＝－(xcos x＋sin x)＝－f(x)，∴y＝xcos x＋sin x为奇函数，图像关于原点对称，排除选项B.当x＝时，y＝1>0，排除选项C；x＝π，y＝－π<0，排除选项A；故选D.
C4 函数 的图象与性质
15．C4[2013·新课标全国卷Ⅰ] 设当x＝θ时，函数f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，则cos θ＝________．
15．－ [解析] 因为f(x)＝sin x－2cos x＝sin(x＋φ)，
所以当x＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝－φ＋2kπ(k∈Z)时，y＝f(x)取得最大值，
则cos θ＝cos x＝cos＝sin φ，由φ∈可得
sinφ＝－，所以cosθ＝－.
16．C4[2013·安徽卷] 已知函数f(x)＝4cos ωx·sinωx＋(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)讨论f(x)在区间0，上的单调性．
16．解：(1)f(x)＝4cos ωx·sinωx＋
＝2 sin ωx·cos ωx＋2 cos2 ωx
＝(sin 2ωx＋cos 2ωx)＋＝2sin2ωx＋＋.
因为f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
从而有＝π，故ω＝1.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin2x＋＋.
若0≤x≤，则≤2x＋≤.
当≤2x＋≤，即0≤x≤时，f(x)单调递增；
当≤2x＋≤，即≤x≤时，f(x)单调递减．
综上可知，f(x)在区间0，上单调递增，在区间，上单调递减．
20．C4，C9，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；
(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．
20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.
又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，
故f＝sin＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos 2x.
将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cos x的图像，再将y＝cos x的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos的图像，所以g(x)＝sin x.
(2)当x∈时，cos 2x>sin xcos 2x.
问题转化为方程2cos 2x＝sin x＋sin xcos 2x在内是否有解．
设G(x)＝sin x＋sin xcos 2x－2cos 2x，x∈，
则G′(x)＝cos x＋cos xcos 2x＋2sin 2x(2－sin x)．
因为x∈，所以G′(x)>0，G(x)在内单调递增．
又G＝－<0，G＝>0，
且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，
即存在唯一的x0∈满足题意．
(3)方法一：依题意，F(x)＝asinx＋cos 2x，令F(x)＝asin x＋cos 2x＝0.
当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπ(k∈Z)．
现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a＝－的解的情况．
令h(x)＝－，x∈(0，π)∪(π，2π)，
则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．
h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
h′(x)
＋
0
－
－
0
＋
h(x)
1
－1
当x>0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，
当x<π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，
当x>π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，
当x<2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，
故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；
当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；
当－10，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.
当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1，0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；
当a<－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0，1)(另一个零点t2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；
当－10)个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是( )
A. B. C. D.
4．B [解析] 结合选项，将函数y＝cos x＋sin x＝2sin的图像向左平移个单位得到y＝2sin＝2cos x，它的图像关于y轴对称，选B.
11．C4[2013·江西卷] 函数y＝sin 2x＋2 sin2 x的最小正周期T为________．
11．π [解析] y＝sin 2x＋(1－cos 2x)＝2sin＋，所以最小正周期为π.
17．C4[2013·辽宁卷] 设向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值．
17．解： (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x.
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，从而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋.
当x＝∈时，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值为.
5．C4[2013·山东卷] 将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图像，则φ的一个可能取值为( )
A. B. C．0 D．－
5．B [解析] 方法一：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，若f(x)＝sin为偶函数，必有＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
方法二：将函数y＝sin(2x＋φ)的图像沿x轴向左平移个单位后得到f(x)＝sin的图像，其对称轴所在直线满足2x＋＋φ＝kπ＋，k∈Z，又∵f(x)＝sin为偶函数，∴y轴为其中一条对称轴，即＋φ＝kπ＋，k∈Z，当k＝0时，φ＝.
16．F3，C4[2013·陕西卷] 已知向量a＝cos x，－，b＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数f(x)＝a·b.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在上的最大值和最小值．
16．解：f(x)＝cos x，－·(sin x，cos 2x)
＝cos xsin x－cos 2x
＝sin 2x－cos 2x
＝cos sin 2x－sincos 2x
＝sin2x－.
(1)f(x)的最小正周期为T＝＝＝π，
即函数f(x)的最小正周期为π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函数的性质，当2x－＝，即x＝时，f(x)取得最大值1.
当2x－＝－，即x＝0时，f(0)＝－，
当2x－＝π，即x＝时，f＝，
∴f(x)的最小值为－.
因此，f(x)在0，上最大值是1，最小值是－.
5．C4[2013·四川卷] 函数f(x)＝2sin (ωx＋φ)的部分图像如图1－4所示，则ω，φ的值分别是( )
A．2，－ B．2，－
C．4，－ D．4，
5．A [解析] 由图知＝＋＝，故周期T＝π，于是ω＝2.∴f(x)＝2sin(2x＋φ)．再由f＝2，得sin＝1，于是＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，因为－<φ<，取k＝0，得φ＝－.
15．C4，C5[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．
15．解：(1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2 sin2x－.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2 ，f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2 ，最小值为－2.
C5 两角和与差的正弦、余弦、正切
17．C5、C8[2013·山东卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，
解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
因为a＝c，所以A为锐角，
所以cos A＝＝.
因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.
17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．
17．解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，
即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影为||cosB＝.
15．C4，C5[2013·天津卷] 已知函数f(x)＝－sin2x＋＋6sin xcos x－2cos2 x＋1，x∈R.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在区间0，上的最大值和最小值．
15．解：(1)f(x)＝－sin 2x·cos－cos 2x·sin＋3sin 2x－cos 2x＝2sin 2x－2cos 2x＝2 sin2x－.
所以，f(x)的最小正周期T＝＝π.
(2)因为f(x)在区间0，上是增函数，在区间，上是减函数．又f(0)＝－2，f＝2 ，f＝2，故函数f(x)在区间0，上的最大值为2 ，最小值为－2.
17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
17．解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .
又a2＋c2≥2ac，故
ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
17．解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .
又a2＋c2≥2ac，故
ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
15．C2，C5[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos θ＝________．
15．－ [解析] 由tan＝得＝tan θ＝－cos θ＝－3sin θ ，
由sin2θ＋cos2θ＝110sin2θ＝1，θ 在第二象限，
sin θ＝，cos θ＝－，
∴sin θ＋cos θ＝－ .
20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.
(2)由题意得
＝，
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.
因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝.
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
C6 二倍角公式
13．C1，C2，C6[2013·四川卷] 设sin 2α＝－sin α，α∈，则tan 2α的值是________．
13. [解析] 解法一：由sin 2α＝－sin α，得2sin αcos α＝－sin α，又α∈，故sin α≠0，于是cos α＝－，进而sin α＝，于是tan α＝－，
∴tan 2α＝＝＝.
解法二：同上得cos α＝－，又α∈，可得α＝，∴tan 2α＝tan ＝.
20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.
(2)由题意得
＝，
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.
因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝.
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D．2 －1
9．C [解析] 原式＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝
＝＝，故选C.
C7 三角函数的求值、化简与证明
15．C7，C8[2013·北京卷] 在△ABC中，a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A.
(1)求cos A的值；
(2)求c的值．
15．解：(1)因为a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得＝.
所以＝.
故cos A＝.
(2)由(1)知cos A＝，所以sin A＝＝.
又因为∠B＝2∠A，所以cos B＝2cos2 A－1＝.
所以sin B＝＝.
在△ABC中，sin C＝sin(A＋B)
＝sin AcosB＋cos Asin B
＝.
所以c＝＝5.
18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C.
18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以
cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sin Asin C
＝＋2×
＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
6．C7[2013·浙江卷] 已知α∈R，sin α＋2cos α＝，则tan 2α＝( )
A. B. C．－ D．－
6．C [解析] 由(sin α＋2cos α)2＝2'得sin2α＋4sin αcos α＋4cos2α＝＝，4sin αcos α＋1＋3cos2α＝，2sin 2α＋1＋3×＝，故2sin 2α＝－，所以tan 2α＝－，选择C.
9．C2、C6，C7[2013·重庆卷] 4cos 50°－tan 40°＝( )
A. B.
C. D．2 －1
9．C [解析] 原式＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝
＝＝，故选C.
C8 解三角形
17．C8[2013·新课标全国卷Ⅰ] 如图1－4所示，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.
(1)若PB＝，求PA；
(2)若∠APB＝150°，求tan ∠PBA.
图1－4
17．解：(1)由已知得， ∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.
在△PBA中，由余弦定理得PA2＝3＋－2××cos 30°＝.故PA＝.
(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sin α.
在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cos α＝4sin α.
所以tan α＝，即tan ∠PBA＝.
13．C8[2013·福建卷] 如图1－4所示，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，则BD的长为__________．
图1－4
13. [解析] 设∠BAD＝θ，则∠BAC＝θ＋，sinθ＋＝ ，所以cos θ＝ ，△ABD中，由余弦定理得BD＝＝.
17．C8[2013·湖北卷] 在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5 ，b＝5，求sin Bsin C的值．
17．解： (1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cos A－2＝0.
即(2cos A－1)(cos A＋2)＝0，解得cos A＝或cos A＝－2(舍去)，
因为0b，则∠B＝( )
A. B. C. D.
6．A [解析] 由正弦定理可得到sin Asin Bcos C＋sin Csin Bcos A＝sin B．因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以sin Acos C＋sin Ccos A＝，即sin(A＋C)＝sin B＝，则∠B＝，故选A.
18．C7、C8[2013·全国卷] 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac.
(1)求B；
(2)若sin Asin C＝，求C.
18．解：(1)因为(a＋b＋c)(a－b＋c)＝ac，所以a2＋c2－b2＝－ac.
由余弦定理得cos B＝＝－，
因此B＝120°.
(2)由(1)知A＋C＝60°，所以
cos(A－C)＝cos Acos C＋sin Asin C
＝cos Acos C－sin Asin C＋2sin Asin C
＝cos(A＋C)＋2sin Asin C
＝＋2×
＝，
故A－C＝30°或A－C＝－30°，
因此C＝15°或C＝45°.
17．C5、C8[2013·山东卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＋c＝6，b＝2，cos B＝.
(1)求a，c的值；
(2)求sin(A－B)的值．
17．解：(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accos B，得b2＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)，
又b＝2，a＋c＝6，cos B＝，所以ac＝9，
解得a＝3，c＝3.
(2)在△ABC中，sin B＝＝.
由正弦定理得sin A＝＝.
因为a＝c，所以A为锐角，
所以cos A＝＝.
因此sin(A－B)＝sin Acos B－cos Asin B＝.
7．C8[2013·陕西卷] 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．不确定
7．B [解析] 结合已知bcos C＋ccos B＝asin A，所以由正弦定理代入可得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin Asin(B＋C)＝sin2Asin A＝sin2Asin A＝1，故A＝90°，故三角形为直角三角形．
17．C5，C8，F1[2013·四川卷] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2cos2 cos B－sin (A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－.
(1)求cos A的值；
(2)若a＝4 ，b＝5，求向量在方向上的投影．
17．解：(1)由2cos2cos B－sin(A－B)sin B＋cos(A＋C)＝－，得
[cos(A－B)＋1]cosB－sin(A－B)sinB－cosB＝－，
即cos(A－B)cosB－sin(A－B)sinB＝－，
则cos(A－B＋B)＝－，即cos A＝－.
(2)由cos A＝－，0b，则A>B，故B＝.
根据余弦定理，有(4 )2＝52＋c2－2×5c×，
解得c＝1或c＝－7(舍去)，
故向量在方向上的投影为||cosB＝.
15．C8，E8，N1[2013·四川卷] 设P1，P2，…，Pn为平面α内的n个点，在平面α内的所有点中，若点P到P1，P2，…，Pn点的距离之和最小，则称点P为P1，P2，…，Pn点的一个“中位点”．例如，线段AB上的任意点都是端点A，B的中位点．则有下列命题：
①若A，B，C三个点共线，C在线段AB上，则C是A，B，C的中位点；
②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点；
③若四个点A，B，C，D共线，则它们的中位点存在且唯一；
④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点．
其中的真命题是________．(写出所有真命题的序号)
15．①④ [解析] 对于①，如果中位点不在直线AB上，由三角形两边之和大于第三边可知与题意矛盾．而当中位点在直线AB上时，如果不与C重合，则|PA|＋|PB|＋|PC|＞|PA|＋|PB|也不符合题意，故C为唯一的中位点，①正确；
对于②，我们取斜边长为4的等腰直角三角形，此时，斜边中点到三个顶点的距离均为2，和为6；而我们取斜边上中线的中点，该点到直角顶点的距离为1，到两底角顶点的距离均为，显然2 ＋1＜6，故该直角三角形的斜边中点不是中位点，②错误；
对于③，当A，B，C，D四点共线时，不妨设他们的顺序就是A，B，C，D，则当点P在B，C之间运动时，点P到A，B，C，D四点的距离之和相等且最小，即这个时候的中位点有无穷多个，③错误；
对于④，同样根据三角形两边之和大于第三边的性质，如果中位点不在对角线的交点上，则距离之和肯定不是最小的，④正确．
6．C8[2013·天津卷] 在△ABC中，∠ABC＝，AB＝，BC＝3，则sin∠BAC＝( )
A. B.
C. D.
6．C [解析] 由余弦定理得AC2＝2＋9－2×3××＝5，即AC＝，由正弦定理得＝，
解得sin ∠BAC＝.
17．C5，C8[2013·新课标全国卷Ⅱ] △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos C＋csin B.
(1)求B；
(2)若b＝2，求△ABC面积的最大值．
17．解：(1)由已知及正弦定理得
sin A＝sin Bcos C＋sin Csin B．①
又A＝π－(B＋C)，故
sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C．②
由①②和C∈(0，π)得sin B＝cos B.
又B∈(0，π)，所以B＝.
(2)△ABC的面积S＝acsin B＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos .
又a2＋c2≥2ac，故
ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△ABC面积的最大值为＋1.
20．C2、C5、C6，C8[2013·重庆卷] 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且a2＋b2＋ab＝c2.
(1)求C；
(2)设cos Acos B＝，＝，求tan α的值．
20．解：(1)因为a2＋b2＋ab＝c2，
所以由余弦定理有cos C＝＝＝－.故C＝.
(2)由题意得
＝，
因此(tan αsin A－cos A)(tan αsin B－cos B)＝，
tan2 αsin Asin B－tan α(sin Acos B＋cos Asin B)＋cos Acos B＝，
tan2 αsin Asin B－tan αsin (A＋B)＋cos Acos B＝.①
因为C＝，所以A＋B＝，所以sin (A＋B)＝.
因为cos (A＋B)＝cos Acos B－sin Asin B，
即－sin Asin B＝.
解得sin Asin B＝－＝.
由①得tan2α－5tan α＋4＝0，
解得tan α＝1或tan α＝4.
C9 单元综合
20．C4，C9，B14[2013·福建卷] 已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0，0<φ<π)的周期为π，图像的一个对称中心为.将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得到的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图像．
(1)求函数f(x)与g(x)的解析式；
(2)是否存在x0∈，使得f(x0)，g(x0)，f(x0)g(x0)按照某种顺序成等差数列？若存在，请确定x0的个数；若不存在，说明理由；
(3)求实数a与正整数n，使得F(x)＝f(x)＋ag(x)在(0，nπ)内恰有2013个零点．
20．解：(1)由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的周期为π，ω>0，得ω＝＝2.
又曲线y＝f(x)的一个对称中心为，φ∈(0，π)，
故f＝sin＝0，得φ＝，所以f(x)＝cos 2x.
将函数f(x)图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)后可得y＝cos x的图像，再将y＝cos x的图像向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos的图像，所以g(x)＝sin x.
(2)当x∈时，cos 2x>sin xcos 2x.
问题转化为方程2cos 2x＝sin x＋sin xcos 2x在内是否有解．
设G(x)＝sin x＋sin xcos 2x－2cos 2x，x∈，
则G′(x)＝cos x＋cos xcos 2x＋2sin 2x(2－sin x)．
因为x∈，所以G′(x)>0，G(x)在内单调递增．
又G＝－<0，G＝>0，
且函数G(x)的图像连续不断，故可知函数G(x)在内存在唯一零点x0，
即存在唯一的x0∈满足题意．
(3)方法一：依题意，F(x)＝asinx＋cos 2x，令F(x)＝asin x＋cos 2x＝0.
当sin x＝0，即x＝kπ(k∈Z)时，cos2x＝1，从而x＝kπ(k∈Z)不是方程F(x)＝0的解，所以方程F(x)＝0等价于关于x的方程a＝－，x≠kπ(k∈Z)．
现研究x∈(0，π)∪(π，2π)时方程a＝－的解的情况．
令h(x)＝－，x∈(0，π)∪(π，2π)，
则问题转化为研究直线y＝a与曲线y＝h(x)，x∈(0，π)∪(π，2π)的交点情况．
h′(x)＝，令h′(x)＝0，得x＝或x＝.
当x变化时，h′(x)，h(x)的变化情况如下表：
x
h′(x)
＋
0
－
－
0
＋
h(x)
1
－1
当x>0且x趋近于0时，h(x)趋向于－∞，
当x<π且x趋近于π时，h(x)趋向于－∞，
当x>π且x趋近于π时，h(x)趋向于＋∞，
当x<2π且x趋近于2π时，h(x)趋向于＋∞，
故当a>1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内无交点，在(π，2π)内有2个交点；
当a<－1时，直线y＝a与曲线y＝h(x)在(0，π)内有2个交点，在(π，2π)内无交点；
当－10，p(－1)＝－a－1，p(1)＝a－1.
当a>1时，函数p(t)有一个零点t1∈(－1，0)(另一个零点t2>1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(π，2π)；
当a<－1时，函数p(t)有一个零点t1∈(0，1)(另一个零点t2<－1，舍去)，F(x)在(0，2π]上有两个零点x1，x2，且x1，x2∈(0，π)；
当－10.从而g(α)＝1－cos α＝1－＝1－＝.
(2)f(x)≥g(x)等价于sin x≥1－cos x，即sin x＋cos x≥1，于是sin≥.
从而2kπ＋≤x＋≤2kπ＋，k∈Z，
即2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
故使f(x)≥g(x) 成立的x的取值集合为x2kπ≤x≤2kπ＋，k∈Z.
18．C9[2013·江苏卷] 如图1－4，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.
现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50 m/min.在甲出发2 min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1 min后，再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min，山路AC长为1 260 m，经测量，cos A＝，cos C＝.
(1)求索道AB的长；
(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？
图1－4
18．解：(1)在△ABC中，因为cos A＝，cos C＝，
所以sin A＝，sin C＝，
从而sin B＝sin[π－(A＋C)]
＝sin(A＋C)
＝sin Acos C＋cos Asin C
＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得
AB＝×sin C＝×＝1 040(m)．
所以索道AB的长为1 040 m.
(2)假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了(100＋50t)m，乙距离A处130t m，所以由余弦定理得
d2＝(100＋50t)2＋(130t)2－2×130t×(100＋50t)×＝200(37t2－70t＋50)．
因为0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝(min)时，甲、乙两游客距离最短．
(3)由正弦定理＝，得
BC＝×sin A＝×＝500(m)．
乙从B出发时，甲已走了50×(2＋8＋1)＝550(m)，还需走710 m才能到达C.
设乙步行的速度为v m/min，由题意得－3≤－≤3，解得≤v≤，
所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在(单位：m/min)范围内．
15．C9[2013·江苏卷] 已知a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a－b|＝，求证：a⊥b；
(2)设c＝(0，1)，若a＋b＝c，求α，β的值．
15．解：(1)由题意得|a－b|2＝2，
即(a－b)2＝a2－2a·b＋b2＝2.
又因为a2＝b2＝|a|2＝|b|2＝1，所以2－2a·b＝2，即a·b＝0，故a⊥b.
(2)因为a＋b＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0，1)，
所以
由此得，cos α＝cos(π－β)，由0<β<π，得0<π－β<π，
又0<α<π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1得，sin α＝sin β＝，而α>β，所以α＝，β＝.
12．C9、B14[2013·全国卷] 已知函数f(x)＝cos xsin 2x，下列结论中错误的是( )
A．y＝f(x)的图像关于点(π，0)中心对称
B．y＝f(x)的图像关于直线x＝对称
C．f(x)的最大值为
D．f(x)既是奇函数，又是周期函数
12．C [解析] 因为对任意x，f(π－x)＋f(π＋x)＝cos xsin 2x－cos xsin 2x＝0，故函数f(x)图像关于点(π，0)中心对称；因为对任意x恒有f(π－x)＝cos xsin 2x＝f(x)，故函数f(x)图像关于直线x＝对称；f(－x)＝－f(x)，f(x＋2π)＝f(x)，故f(x)既是奇函数也是周期函数；对选项C中，f(x)＝2cos2xsin x＝2(1－sin2x)sin x，令t＝sin x∈[－1，1]，设y＝(1－t2)t＝－t3＋t，y′＝－3t2＋1，可得函数y的极大值点为t＝，所以y在上的极大值为－＋＝，函数的端点值为0，故函数y在区间的最大值为，函数f(x)的最大值为，所以选项C中的结论错误．
16．C9[2013·浙江卷] 在△ABC中，∠C＝90°，M是BC的中点．若sin∠BAM＝，则sin∠BAC＝________．
16. [解析] 设△ABC的三边长为a，b，c，tan∠BAM＝.
而tan∠BAM＝tan(∠BAC－∠CAM)＝＝＝＝，
则＝1＋－2＋2＝0－2＝0，故＝sin ∠BAC＝＝＝＝.
1．[2013·湖北四校联考] 下列说法正确的是( )
A．存在α∈(0，)，使sin α＋cos α＝
B．y＝tan x在其定义域内为增函数
C．y＝cos 2x＋sin(－x)既有最大、最小值，又是偶函数
D．y＝sin的最小正周期为π
1．C [解析] 由sin α＋cos α＝＝sin(α＋)，因为α∈，所以α＋∈，因此sin∈(1，]，而?(1，]，故A错．由y＝tan x在其定义域内不单调，故B错．对于C：y＝cos 2x＋sin＝2cos2x－1＋cos x＝22－，因为cos x∈[－1，1]，所以y＝cos 2x＋sin有最大值，最小值，令y＝f(x)，则f(－x)＝cos[2(－x)]＋sin＝cos 2x＋sin＝cos 2x－sin＝cos 2x＋sin＝f(x)，所以函数y为偶函数，故C对．对于D，y＝sin＝sin的图像向右平移个单位后为函数y＝sin|2x|的图像，而y＝sin|2x|是偶函数，图像关于y轴对称，如图所示，不具有周期性，综上可知选C.
2．[2013·马鞍山一检] 函数f(x)＝3sin(2x－)的图像为C，如下结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
①图像C关于直线x＝π对称；
②图像C的所有对称中心都可以表示为(＋kπ，0)(k∈Z)；
③函数f(x)在区间[－，]内是增函数；
④由y＝－3cos 2x的图像向左平移个单位长度可以得到图像C；
⑤函数f(x)在[0，]上的最小值是－3.
2．①③④ [解析] 函数f(x)＝3sin的图像的对称轴为2x－＝kπ＋(k∈Z)，即x＝π＋π(k∈Z)，当k＝1时，x＝π，故直线x＝π是图像C的对称轴，所以①对．函数f(x)图像的对称中心的横坐标为2x－＝kπ(k∈Z)，即x＝＋π(k∈Z)，所以②错．函数f(x)的单调增区间为－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)，即－＋kπ≤x≤π＋kπ(k∈Z)，k＝0时，－≤x≤π所以③对．将y＝－3cos 2x的图像向左平移个单位长度可得y＝－3cos＝－3cos＝3sin，所以④对．当x∈时，2x－∈，所以f(x)∈[－，3]，故⑤错．综上，①③④正确．
3．[2013·吉林实验中学二模] 把函数y＝sin x(x∈R)的图像上所有点向左平移个单位长度，再把所得图像上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到的图像所表示的函数是( )
A．y＝sin(2x－)，x∈R
B．y＝sin(＋)，x∈R
C．y＝sin(2x＋)，x∈R
D．y＝sin(2x＋)，x∈R
3．C [解析] 将函数y＝sin x(x∈R)的图像上所有点向左平移个单位长度可得函数y＝sin的图像，将y＝sin的图像上所有点的横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，可得函数y＝sin (2x＋)的图像，故选C.
4．[2013·哈尔滨三中期末] 已知f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω∈R，|φ|<)，满足f(x)＝－f(x＋)，f(0)＝，f′(0)<0，则g(x)＝2cos(ωx＋φ)在区间[0，]上的最大值与最小值之和为( )
A．2－
B.－2
C．0
D．－1
4．A [解析] 由f(0)＝?f(0)＝sin φ＝，故φ＝＋2kπ(k∈Z)，又因为|φ|<，所以φ＝.因为f(x)＝－f，所以f(x)＝f(x＋π)，故f(x)的周期为π，则|ω|＝＝2，又f′(x)＝ωcos(ωx＋φ)?f′(0)＝ωcos φ<0?ω<0，所以ω＝－2，则g(x)＝2cos＝2cos.又因为0≤x≤，所以－≤2x－≤π，讨论如下：
当2x－＝0时，g(x)取最大值为2；当2x－＝π时，g(x)取最小值为－，所以g(x)的最大值与最小值之和为2－.
5．[2013·天津耀华中学月考] 在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，a＝，b＝，且1＋2cos(B＋C)＝0，则BC边上的高等于( )
A.－1 B.＋1
C. D.
5．D [解析] 由1＋2cos(B＋C)＝0，得1－2cos A＝0，cos A＝，所以A＝.由正弦定理得＝，即＝，得sin B＝，因为b
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