E单元 不等式
E1 不等式的概念与性质
12．H2，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 已知点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，1)，直线y＝ax＋b(a＞0)将△ABC分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
A．(0，1) B.
C. D.
12．B [解析] 方法一：易得△ABC面积为1，利用极限位置和特值法．当a＝0时，易得b＝1－；当a＝时，易得b＝；当a＝1时，易得b＝－1>.故选B.
方法二：(直接法) y＝ ，y＝ax＋b与x 轴交于，结合图形与a>0 ，××＝(a＋b)2＝a(a＋1)>0a＝.
∵a>0，∴>0b<，当a＝0时，极限位置易得b＝1－，故答案为B.
8．B7，E1[2013·新课标全国卷Ⅱ] 设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
A．c＞b＞a B．b＞c＞a
C．a＞c＞b D．a＞b＞c
8．D [解析] a－b＝log36－log510＝(1＋log32)－(1＋log52)＝log32－log52>0，
b－c＝log510－log714＝(1＋log52)－(1＋log72)＝log52－log72>0，
所以a>b>c，选D.
E2 绝对值不等式的解法
E3 一元二次不等式的解法
6．E3、B6、B7[2013·安徽卷] 已知一元二次不等式f(x)<0的解集为xx<－1或x>，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>－lg 2}
B．{x|－1－lg 2}
D．{x|x<－lg 2}
6．D [解析] 根据已知可得不等式f(x)>0的解是－12时，不等式化为x＋1－x＋2≥1，此时恒成立，∴|x＋1|－|x－2|≥1的解集为.在上使不等式有解的区间为，由几何概型的概率公式得P＝＝.
E5 简单的线性规划问题
9．F2、E5[2013·安徽卷] 在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足||＝||＝·＝2，则点集{P|＝λ＋μ，|λ|＋|μ|≤1，λ，μ∈R}所表示的区域的面积是( )
A．2 B．2
C．4 D．4
9．D [解析] 由||＝||＝·＝2，可得点A，B在圆x2＋y2＝4上且∠AOB＝60°，在平面直角坐标系中，设A(2，0)，B(1，)，设P(x，y)，则(x，y)＝λ(2，0)＋μ(1，)，由此得x＝2λ＋μ，y＝μ，解得μ＝，λ＝x－y，由于|λ|＋|μ|≤1，
所以x－y＋y≤1，
即|x－y|＋|2y|≤2 .
①或②或
③或④
上述四个不等式组在平面直角坐标系中表示的区域如图阴影部分所示，所以所求区域的面积是4 .
8．E5[2013·北京卷] 设关于x，y的不等式组表示的平面区域内存在点P(x0，y0)，满足x0－2y0＝2，求得m的取值范围是( )
A. B.
C. D.
8．C [解析] 在直角坐标系中画出可行域，如图所示，由题意可知，可行域内与直线x－2y＝2有交点，当点(－m，m)在直线x－2y＝2上时，有m＝－，所以m<－，故选C.
13．E5[2013·广东卷] 给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取值最大值或最小值的点}．则T中的点共确定________条不同的直线．
13．6 [解析] 由题画出不等式组表示的区域如图阴影部分，易知线性目标函数z＝x＋y在点(0，1)处取得最小值，在(0，4)或(1，3)或(2，2)或(3，1)或(4，0)处取得最大值，这些点一共可以确定6条直线．
20．I3，E5[2013·湖北卷] 假设每天从甲地去乙地的旅客人数X是服从正态分布N(800，502)的随机变量，记一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为P0.
(1)求P0的值；(参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝( )
A. B. C．1 D．2
9．B [解析] 直线y＝a(x－3)过定点(3，0) .画出可行域如图，易得A(1，－2a)，B(3，0)，C(1，2). 作出直线y＝－2x，平移易知直线过A点时直线在y轴上的截距最小，即2＋(－2a)＝1a＝ .答案为B.
13．E5[2013·浙江卷] 设z＝kx＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则实数k＝________．
13．2 [解析] 不等式组表示的可行区域为如图所示的三角形ABC及其内部，A(2，0)，B(4，4)，C(0，2)，要使z的最大值为12，只能经过B点，此时12＝4k＋4，k＝2.
E6 基本不等式
3．E6[2013·重庆卷] (－6≤a≤3)的最大值为( )
A．9 B. C．3 D.
3．B [解析] 因为－6≤a≤3，所以≤＝，当且仅当3－a＝a＋6，即a＝－时等号成立，故选B.
E7 不等式的证明方法
E8 不等式的综合应用
22．B12，E8[2013·湖北卷] 设n是正整数，r为正有理数．
(1)求函数f(x)＝(1＋x)r＋1－(r＋1)x－1(x>－1)的最小值；
(2)证明：0时，f′(x)>0，所以f(x)在(0，＋∞)内是增函数，故函数f(x)在x＝0处取得最小值f(0)＝0.
(2)由(1)，当x∈(－1，＋∞)时，有f(x)≥f(0)＝0，即(1＋x)r＋1≥1＋(r＋1)x，且等号当且仅当x＝0时成立，故当x>－1且x≠0时，有(1＋x)r＋1>1＋(r＋1)x.①
在①中，令x＝(这时x>－1且x≠0)，得>1＋.
上式两边同乘nr＋1，得(n＋1)r＋1>nr＋1＋nr(r＋1)，即
nr<.②
当n>1时，在①中令x＝－(这时x>－1且x≠0)，类似可得nr>，③
且当n＝1时，③也成立，综合②，③得
0时，q：3－m≤x≤3＋m；当m<0时，q：3＋m≤x≤3－m，若p是q的充分不必要条件，只需要
或解得m≤－4或m≥4，选C.
[规律解读] 对于解含有参数的二次不等式，一般讨论的顺序是：(1)讨论二次项系数是否为0，这决定此不等式是否为二次不等式；(2)当二次项系数不为0时，讨论判别式是否大于0；(3)当判别式大于0时，讨论二次项系数是否大于0，这决定所求不等式的不等号的方向；(4)判断二次不等式两根的大小．
3．[2013·山西大同一中四诊] 设变量x，y满足|x|＋|y|≤1，则x＋2y的最大值和最小值分别为( )
A．1，－1
B．2，－2
C．1，－2
D．2，－1
3．B [解析] 由题意绘出可行性区域如图所示，令z＝x＋2y，则y＝－x＋，求z的最大值，最小值即求y＝－x＋的截距的最大值，最小值．由图可知当y＝－x＋过点(0，1)时，z取最大值，过点(0，－1)时，z取最小值．所以z的最大值为0＋2×1＝2，z的最小值为0＋2×(－1)＝－2，故选B.
4．[2013·安徽池州期末] 已知x，y满足则的取值范围是________．
4. [解析] 由题意绘出可行性区域如图所示，
求的取值范围，即求可行域内任一点与点(4，2)连线的斜率k的取值范围，由图像可得k∈.
[规律解读] 本题与常规线性规划不同，主要是目标函数不是直线形式，此类问题常考虑目标函数的几何意义，常见代数式的几何意义主要有以下几点：
(1)表示点(x，y)与原点(0，0)的距离，
表示点(x，y)与点(a，b)的距离；
(2)表示点(x，y)与原点(0，0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．
这些代数式的几何意义能使所求问题得以转化，往往是解决问题的关键．
5．[2013·郑州模拟] 若x，y满足条件当且仅当x＝y＝3时，z＝ax－y取最小值，则实数a的取值范围是________．
5. [解析] 画出可行域，得到最优解(3，3)，把z＝ax－y变为y＝ax－z，即研究－z的最大值．当a∈时，y＝ax－z均过(3，3)且截距最大．
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